Текст учебника. Урок 2. Обобщённый метод интервалов.

1. Алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов

бщая схема решения

Обобщённый метод интервалов — это универсальный способ решения рациональных неравенств, основанный на свойстве непрерывности функции и законе чередования знаков.

Алгоритм решения неравенства P(x)/Q(x) ⊲ 0:

1. Приведение к стандартному виду: Перенести все слагаемые в левую часть и привести к общему знаменателю, чтобы получить неравенство вида f(x) ⊲ 0, где f(x) — рациональная функция.

2. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ): Определить значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль: Q(x) ≠ 0.

3. Нахождение нулей функции (корней числителя): Решить уравнение P(x) = 0. Найденные точки отмечаются на координатной прямой.

4. Нанесение всех "значимых" точек на числовую прямую:

   • Корни числителя (точки, где функция равна нулю)

   • Корни знаменателя (точки, где функция не существует)

   Точки нумеруются в порядке возрастания и разбивают прямую на интервалы.

5. Определение знака функции на каждом интервале: Взять произвольную точку из каждого интервала (удобно брать самое большое число) и вычислить знак функции. Либо использовать метод пробной точки.

6. Запись ответа с учётом знака неравенства и ОДЗ:

   • Для строгих неравенств (>, <) точки, где числитель равен нулю, не включаются.

   • Для нестрогих неравенств (≥, ≤) точки, где числитель равен нулю, включаются (если они входят в ОДЗ).

   • Точки, где знаменатель равен нулю, всегда исключаются.