Текст учебника. Урок 2. Обобщённый метод интервалов.

3. Теоретическое обоснование метода

Непрерывность и сохранение знака

Теорема (о промежуточных значениях): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует точка, где f(x) = 0.

Следствие для метода интервалов:

• Многочлены и рациональные функции непрерывны на каждом интервале своей области определения.

• Если функция не обращается в ноль внутри интервала, то она сохраняет постоянный знак на всём интервале.

• Знак может измениться только при переходе через точки, где функция равна нулю (корни числителя) или терпит разрыв (корни знаменателя).

Логическая схема обоснования

1. Разбиваем область определения точками, где функция равна нулю или не существует.

2. На каждом полученном интервале функция непрерывна и не имеет нулей.

3. По теореме о промежуточных значениях, функция не может менять знак внутри интервала.

4. Значит, для определения знака на всём интервале достаточно вычислить значение в одной любой точке этого интервала.