Текст учебника. Урок 2. Обобщённый метод интервалов.

5. Примеры решений

Пример 3: Простое неравенство (все корни кратности 1)

Решить неравенство: (x - 2)(x + 3) < 0

Решение:

1. Функция f(x) = (x - 2)(x + 3) — многочлен, ОДЗ: все числа.

2. Нули функции: x = 2, x = -3 (оба кратности 1).

3. Отмечаем точки на прямой: -3 и 2.

4. Определяем знак на крайнем правом интервале (2; +∞): берём x = 3, подставляем: (3-2)(3+3) = 1·6 = 6 > 0 → знак "+".

5. Так как оба корня кратности 1 (нечётные), при движении влево знак меняется:

   • Интервал (-3; 2) — знак "-"

   • Интервал (-∞; -3) — знак "+"

6. Нам нужны значения < 0, выбираем интервал со знаком "-".
   Ответ: (-3; 2)

Пример 4: Неравенство с кратными корнями

Решить неравенство: (x - 1)²(x + 2) ≥ 0

Решение:

1. f(x) = (x - 1)²(x + 2)

2. Нули: x = 1 (кратность 2 — чётная), x = -2 (кратность 1 — нечётная)

3. Отмечаем точки: -2 и 1

4. Крайний правый интервал (1; +∞): берём x = 2: (2-1)²(2+2) = 1·4 = 4 > 0 → "+"

5. Двигаемся влево:

   • Переход через x = 1 (чётная кратность) — знак не меняется → интервал (-2; 1) тоже "+"

   • Переход через x = -2 (нечётная кратность) — знак меняется → интервал (-∞; -2) — "-"

6. Неравенство нестрогое ≥ 0, включаем точки, где числитель равен нулю: x = -2 и x = 1
   Ответ: (-∞; -2] ∪ {1} ∪ [-2; 1] = (-∞; -2] ∪ [-2; +∞)? Нет, аккуратно:

   • Интервалы со знаком "+": (-∞; -2]? Нет, там знак "-" до -2.
     Правильно: (-∞; -2] не подходит. Решение: [-2; 1] ∪ [1; +∞)? Нет.
     Выписываем: на (-∞; -2) знак "-", на (-2; 1) знак "+", на (1; +∞) знак "+". Включаем точки x=-2 и x=1.
     Ответ: [-2; +∞)

Пример 5: Рациональное неравенство с учётом ОДЗ

Решить неравенство: (x - 3)/(x + 2) ≥ 0

Решение:

1. ОДЗ: x + 2 ≠ 0 → x ≠ -2

2. Нули числителя: x = 3

3. Нули знаменателя: x = -2 (исключаем)

4. Отмечаем точки -2 и 3

5. Определяем знак на интервале (3; +∞): берём x = 4: (4-3)/(4+2) = 1/6 > 0 → "+"

6. Двигаемся влево:

   • Переход через x = 3 — знак меняется → (-2; 3) — "-"

   • Переход через x = -2 — разрыв, знак определяем отдельно: на (-∞; -2) берём x = -3: (-3-3)/(-3+2) = (-6)/(-1) = 6 > 0 → "+"

7. Неравенство нестрогое ≥ 0, включаем корни числителя (если они в ОДЗ): x = 3 включаем. x = -2 не включаем по ОДЗ.
   Ответ: (-∞; -2) ∪ [3; +∞)

Пример 6: Сложный случай с разложением

Решить неравенство: (x² - 4)/(x² - 5x + 6) ≤ 0

Решение:

1. Разложим на множители:

   • Числитель: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

   • Знаменатель: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

   Получаем: ((x - 2)(x + 2))/((x - 2)(x - 3)) ≤ 0

2. ОДЗ: (x - 2)(x - 3) ≠ 0 → x ≠ 2, x ≠ 3

3. Сократим на (x - 2) (помня, что x ≠ 2):
   (x + 2)/(x - 3) ≤ 0, при x ≠ 2, x ≠ 3

4. Нули числителя: x = -2
   Нули знаменателя: x = 3 (исключаем), и помним про x = 2 (исключаем)

5. Отмечаем точки: -2, 2, 3

6. Определяем знак на (3; +∞): берём x = 4: (4+2)/(4-3) = 6/1 = 6 > 0 → "+"

7. Двигаемся влево:

   • Переход через x = 3 — знак меняется → (2; 3) — "-"

   • Переход через x = 2 — здесь разрыв в исходной функции, но в упрощённой функции (x+2)/(x-3) точка x=2 допустима. Однако по ОДЗ исходного неравенства x=2 исключён! Определим знак на (-2; 2) по упрощённой функции: берём x = 0: (0+2)/(0-3) = 2/(-3) < 0 → "-"

   • Переход через x = -2 — знак меняется → (-∞; -2) — "+"

8. Неравенство нестрогое ≤ 0, выбираем интервалы со знаком "-":

   • Интервал (-2; 2) со знаком "-", но x=2 исключаем

   • Интервал (2; 3) со знаком "-", и x=3 исключаем
     Включаем корень числителя x = -2

Ответ: [-2; 2) ∪ (2; 3)

Пример 7: Высокая кратность корней

Решить неравенство: (x - 4)⁵(x + 1)³/(x - 2)² ≥ 0

Решение:

1. ОДЗ: (x - 2)² ≠ 0 → x ≠ 2

2. Нули числителя:

   • x = 4 (кратность 5 — нечётная)

   • x = -1 (кратность 3 — нечётная)

   Нули знаменателя:

   • x = 2 (кратность 2 — чётная, но точка исключается)

3. Отмечаем точки: -1, 2, 4

4. Определяем знак на крайнем правом интервале (4; +∞): берём x = 5:

   • Числитель: (5-4)⁵(5+1)³ = 1⁵·6³ = 1·216 = 216 > 0

   • Знаменатель: (5-2)² = 3² = 9 > 0

   • Частное: 216/9 > 0 → знак "+"

5. Двигаемся влево, учитывая кратность:

   • Переход через x = 4 (нечётная кратность 5) — знак меняется → интервал (2; 4) — "-"

   • Переход через x = 2 — здесь разрыв, знак определяем отдельно: берём x = 1.5 из интервала (-1; 2):
     Числитель: (1.5-4)⁵(1.5+1)³ = (-2.5)⁵·(2.5)³ — отрицательное·положительное = отрицательное
     Знаменатель: (1.5-2)² = (-0.5)² = 0.25 > 0
     Частное: отрицательное/положительное = отрицательное → знак "-"

   • Переход через x = -1 (нечётная кратность 3) — знак меняется → интервал (-∞; -1) — "+"

6. Неравенство нестрогое ≥ 0, выбираем интервалы со знаком "+" и включаем нули числителя:

   • Интервал (-∞; -1] (включаем x = -1)

   • Интервал (2; 4] — на этом интервале знак "-", не подходит

   • Интервал [4; +∞) (включаем x = 4)

   Проверим (2; 4) — там знак "-", не подходит.

Ответ: (-∞; -1] ∪ [4; +∞)