Текст учебника. Урок 3. Системы неравенств с одной переменной.

2. Принцип равносильности систем

Решение системы как пересечение решений

Основной принцип: Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений каждого неравенства, входящего в систему.

Математическая запись:
Если $A$ — множество решений первого неравенства, $B$ — множество решений второго неравенства, то решение системы: $A\cap B$.

Геометрическая интерпретация:
На числовой прямой решения каждого неравенства изображаются своими промежутками. Решение системы — это та часть прямой, которая принадлежит всем этим промежуткам одновременно (где они "перекрываются").

Пример 2:
Решим систему:

$$\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x<3\end{array}$$

• Решение первого: $[-1;+\mathrm{\infty })$

• Решение второго: $(-\mathrm{\infty };3)$

• Пересечение: $[-1;3)$

Важное замечание: Если пересечение оказывается пустым, система не имеет решений.

Пример 3 (система без решений):

$$\{\begin{array}{l}x<-2\\ x>5\end{array}$$

Первое неравенство даёт $(-\mathrm{\infty };-2)$, второе — $(5;+\mathrm{\infty })$. Эти множества не пересекаются. Ответ: $\mathrm{\varnothing }$ (нет решений).