Текст учебника. Урок 3. Системы неравенств с одной переменной.

3. Алгоритм решения системы неравенств

Пошаговый алгоритм

Для решения системы неравенств с одной переменной рекомендуется следующий алгоритм:

Шаг 1. Решить каждое неравенство системы по отдельности (получить множество решений каждого).

Шаг 2. Начертить одну числовую прямую и на ней отметить все граничные точки из решений всех неравенств.

Шаг 3. Для каждого неравенства штриховкой или дугой сверху показать его решение.

Шаг 4. Найти пересечение всех решений — область, где штриховки совпадают (или ту часть прямой, которая принадлежит всем решениям одновременно).

Шаг 5. Записать ответ в виде промежутка или объединения промежутков (если решений нет, записать $\mathrm{\varnothing }$).

Пример 4: Система из двух линейных неравенств

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}2x-5<3\\ 7-4x\le 15\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое неравенство:
   $2x-5<3$
   $2x<8$
   $x<4$
   Ответ первого: $(-\mathrm{\infty };4)$

2. Решаем второе неравенство:
   $7-4x\le 15$
   $-4x\le 8$ | делим на -4 (знак меняем!)
   $x\ge -2$
   Ответ второго: $[-2;+\mathrm{\infty })$

3. Изображаем на числовой прямой:

-----[-2]-----------------(4)---->
      /////////////////////////   (решение второго: x ≥ -2)
////////////////////////////       (решение первого: x < 4)

1. Пересечение: там, где есть обе штриховки — от -2 до 4.

2. Записываем ответ: $[-2;4)$

Пример 5: Система с квадратным неравенством

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+3<0\\ x+1>0\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое неравенство (квадратное):
   $x^2-4x+3=0$
   $D=16-12=4$, корни: $x_1=1$, $x_2=3$
   Ветви параболы вверх, неравенство строгое (< 0), значит решение: $(1;3)$

2. Решаем второе неравенство (линейное):
   $x+1>0$
   $x>-1$
   Решение: $(-1;+\mathrm{\infty })$

3. Находим пересечение:

   • Первое: $(1;3)$

   • Второе: $(-1;+\mathrm{\infty })$
     Пересечение: $(1;3)$ (так как этот промежуток полностью входит во второй)

4. Ответ: $(1;3)$

Пример 6: Система из трёх неравенств

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}3x-5\le 1\\ x+2>0\\ x\le 4\end{array}$$

Решение:

1. Решаем каждое:

   • Первое: $3x\le 6$ → $x\le 2$ → $(-\mathrm{\infty };2]$

   • Второе: $x>-2$ → $(-2;+\mathrm{\infty })$

   • Третье: $x\le 4$ → $(-\mathrm{\infty };4]$

2. Изображаем на прямой:

---(-2)--------[2]--------(4)--->
     /////////////////////////    (второе: x > -2)
///////////////////////////////    (третье: x ≤ 4)
////////////////////                (первое: x ≤ 2)

1. Пересечение трёх множеств: от -2 до 2, причём -2 не входит (из второго), 2 входит (из первого и третьего).

2. Ответ: $(-2;2]$

Пример 7: Система с двойным неравенством

Двойное неравенство вида $a<f(x)<b$ можно рассматривать как систему:

$$\{\begin{array}{l}f(x)>a\\ f(x)<b\end{array}$$

Решить двойное неравенство: $-2<2x-4\le 5$

Решение:

1. Записываем в виде системы:

   $$\{\begin{array}{l}2x-4>-2\\ 2x-4\le 5\end{array}$$

2. Решаем каждое:

   • Первое: $2x>2$ → $x>1$ → $(1;+\mathrm{\infty })$

   • Второе: $2x\le 9$ → $x\le 4.5$ → $(-\mathrm{\infty };4.5]$

3. Пересечение: $(1;4.5]$

4. Ответ: $(1;4.5]$