Текст учебника. Урок 3. Системы неравенств с одной переменной.

4. Понятие совокупности неравенств

Что такое совокупность?

В отличие от системы, где нужно выполнение всех условий одновременно, в совокупности требуется выполнение хотя бы одного из условий.

Определение: Совокупностью неравенств называется несколько неравенств, объединённых квадратной скобкой, для которых требуется найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из неравенств совокупности.

Обозначение:

$$[\begin{array}{c}{\displaystyle f_1(x)>0}\\ {\displaystyle f_2(x)\le 0}\\ {\displaystyle f_3(x)\ge 0}\end{array}$$

(читается: "совокупность неравенств")

Различие между системой и совокупностью

Пример 8: Система vs Совокупность

Рассмотрим два похожих выражения:

1. Система:

   $$\{\begin{array}{l}x>0\\ x<2\end{array}$$

   Нужно, чтобы $x$ был одновременно больше 0 и меньше 2. Решение: $(0;2)$

2. Совокупность:

   $$[\begin{array}{c}{\displaystyle x>0}\\ {\displaystyle x<2}\end{array}$$

   Нужно, чтобы $x$ был больше 0 или меньше 2. Этому условию удовлетворяют вообще все числа, кроме, может быть, каких-то? Проверим:

   • Если $x=5$: $5>0$ — верно, значит, подходит.

   • Если $x=-3$: $-3<2$ — верно, значит, подходит.

   • Любое число удовлетворяет либо первому, либо второму (а многие — обоим). Решение: вся числовая прямая $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

Пример 9: Решение совокупности неравенств

Решить совокупность:

$$[\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-4<0}\\ {\displaystyle x+1\ge 0}\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое неравенство:
   $x^2-4<0$
   $(x-2)(x+2)<0$
   Решение: $(-2;2)$

2. Решаем второе неравенство:
   $x+1\ge 0$
   $x\ge -1$
   Решение: $[-1;+\mathrm{\infty })$

3. Находим объединение решений:

   • Первое: $(-2;2)$

   • Второе: $[-1;+\mathrm{\infty })$
     Объединение: $(-2;+\mathrm{\infty })$
     (Проверяем: числа от -2 до -1 входят из первого, числа от -1 и дальше входят из второго)

4. Ответ: $(-2;+\mathrm{\infty })$