Текст учебника. Урок 5. Метод алгебраического сложения.

1. Теоретическая основа метода

Почленное сложение и вычитание уравнений

В основе метода алгебраического сложения лежит важное свойство равенств: если два числа равны и два других числа равны, то их суммы (и разности) также равны.

Теорема (о почленном сложении уравнений):
Если даны два верных равенства:

$a = b и c = d,$

то справедливы также равенства:

$a + c = b + d (почленное сложение)$ $a - c = b - d (почленное вычитание)$

Применительно к системе уравнений:
Если пара чисел $(x_{0}; y_{0})$ удовлетворяет каждому уравнению системы:

${\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y = C_{1} \\ A_{2} x + B_{2} y = C_{2} \end{cases}$

то эта же пара удовлетворяет и уравнению, полученному почленным сложением (или вычитанием) исходных уравнений:

$(A_{1} + A_{2}) x + (B_{1} + B_{2}) y = C_{1} + C_{2}$

Важное следствие: Если мы заменим одно из уравнений системы его суммой с другим уравнением (умноженным на некоторое число), то получим систему, равносильную исходной.

Почему это работает?

Рассмотрим систему:

${\begin{cases} 2 x + 3 y = 8 \\ 5 x - 3 y = 1 \end{cases}$

Если $(x; y)$ — решение, то:

$2 x + 3 y = 8$ (верно)
$5 x - 3 y = 1$ (верно)

Сложим левые и правые части:
$(2 x + 3 y) + (5 x - 3 y) = 8 + 1$
$7 x = 9$

Полученное уравнение — следствие исходной системы. Любое решение исходной системы удовлетворяет этому уравнению. Более того, если мы объединим его с одним из исходных уравнений, мы получим систему, равносильную исходной.