Текст учебника. Урок 7. Числовые последовательности: определение и способы задания.

1. Определение числовой последовательности

Введение понятия

В математике и окружающей жизни мы часто встречаемся с упорядоченными наборами чисел. Например:

Номера домов на улице: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Температура воздуха, измеряемая каждый день в полдень: +5°, +7°, +4°, +6°, ...
Члены геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, ...

Во всех этих примерах числа идут в определённом порядке, и каждое число имеет свой номер (порядковый индекс).

Определение: Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел (или его подмножестве) и принимающая числовые значения.

Обозначение: Обычно последовательность обозначают $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ или ${a_{n}}$ .

Здесь:

$a_{1}$ — первый член последовательности
$a_{2}$ — второй член последовательности
$a_{n}$ — общий ( $n$ -й) член последовательности
$n$ — номер члена (натуральное число)

Последовательность как функция

Важно понимать: последовательность — это функция, у которой:

Аргумент — натуральное число $n$ (номер члена)
Значение — число $a_{n}$ (сам член последовательности)

Запись $a_{n} = f (n)$ означает, что $n$ -й член последовательности вычисляется по некоторому правилу $f$ .

Пример 1: Последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
Здесь $a_{n} = n$

Пример 2: Последовательность квадратов натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
Здесь $a_{n} = n^{2}$

Пример 3: Последовательность обратных чисел: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$
Здесь $a_{n} = \frac{1}{n}$