Текст учебника. Урок 7. Числовые последовательности: определение и способы задания.

5. Связь между различными способами задания

От аналитического к рекуррентному

Если задана аналитическая формула $a_n=f(n)$, часто можно найти рекуррентное соотношение.

Пример 17: $a_n=2n+1$ (нечётные числа)
Найдём $a_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3$
Тогда $a_{n+1}-a_n=(2n+3)-(2n+1)=2$
Значит, $a_{n+1}=a_n+2$ — рекуррентная формула.

От рекуррентного к аналитическому

Не всегда легко перейти от рекуррентного способа к аналитическому. Для некоторых последовательностей (например, Фибоначчи) аналитическая формула существует, но она довольно сложна.

Пример 18 (для сильных учеников): Для последовательности Фибоначчи существует формула Бине:

$$F_n=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}},\text{ где }\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$$