Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

6. Задачи на нахождение n

6.1. Пример 6: Нахождение количества членов

В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Сумма первых n членов равна 189. Найти n.

Решение:
$S_n=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1)=189$
$2^n-1=63$
$2^n=64$
$2^n=2^6$
$n=6$

Ответ: 6

6.2. Пример 7: Нахождение n с квадратным уравнением

В геометрической прогрессии $b_1=2$, $q=3$. Сумма первых n членов равна 242. Найти n.

Решение:
$S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=\frac{2(3^n-1)}{2}=3^n-1=242$
$3^n=243$
$3^n=3^5$
$n=5$

Ответ: 5

6.3. Пример 8: Случай с дробным q

В геометрической прогрессии $b_1=8$, $q=\frac{1}{2}$. Сумма первых n членов равна $15\frac{3}{4}$. Найти n.

Решение:
$S_n=\frac{8(1-(\frac{1}{2}{)}^n)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8(1-2^{-n})}{\frac{1}{2}}=16(1-2^{-n})=15.75$

$1-2^{-n}=\frac{15.75}{16}=0.984375$
$2^{-n}=0.015625$
$2^{-n}=\frac{1}{64}=2^{-6}$
$n=6$

Ответ: 6