Текст урока. Урок 12. Понятие степени с рациональным показателем.

6. Преобразование выражений со степенями

6.1. Пример 17: Комплексное выражение

Упростить: $\frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{1}{2}}}$

Решение:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}}\cdot \frac{b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}}=a^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}=a^{\frac{2}{6}-\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{4}{6}-\frac{3}{6}}=a^{\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{1}{6}}=(ab{)}^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $(ab{)}^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{ab}$

6.2. Пример 18: Вынесение множителя

Представить в виде степени: $\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt{a}$

Решение:
$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
$a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}}=a^{\frac{7}{6}}$

Ответ: $a^{\frac{7}{6}}$

6.3. Пример 19: Сравнение чисел

Сравнить: $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{3}}$

Решение:
Приведём к общему показателю:
$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$
$3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}$

Так как $9>8$, то $\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}$, значит $3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}$