Текст учебника. Урок 13. Степенная функция y = xⁿ (n∈N), её свойства и график.

2. Исследование свойств функции y = xⁿ

2.1. Чётность и нечётность

Вспомним определения:

• Функция называется чётной, если для любого $x$ из области определения выполняется $f(-x)=f(x)$.

• Функция называется нечётной, если для любого $x$ из области определения выполняется $f(-x)=-f(x)$.

Рассмотрим $f(x)=x^n$:

• $f(-x)=(-x{)}^n=(-1{)}^n\cdot x^n$

Отсюда:

• Если $n$ — чётное ($n=2k$), то $(-1{)}^n=1$, значит $f(-x)=f(x)$ — функция чётная.

• Если $n$ — нечётное ($n=2k+1$), то $(-1{)}^n=-1$, значит $f(-x)=-f(x)$ — функция нечётная.

Пример 1:

• $y=x^2$ — чётная функция

• $y=x^4$ — чётная функция

• $y=x^3$ — нечётная функция

• $y=x^5$ — нечётная функция

2.2. Монотонность (возрастание и убывание)

Для нечётных n ($n=1,3,5,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$):

• Производная (будет изучаться позже) положительна при всех $x\mathrm{\ne }0$, функция возрастает на всей области определения.

• Функция $y=x^n$ при нечётном $n$ является возрастающей на $\mathbb{R}$.

Для чётных n ($n=2,4,6,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$):

• При $x<0$: функция убывает (чем меньше $x$, тем больше $y$ по модулю, но с учётом чётности — при движении к нулю значения уменьшаются)

• При $x>0$: функция возрастает

• Точка $x=0$ — точка минимума

2.3. Ограниченность

• При нечётных $n$: функция не ограничена ни сверху, ни снизу. При $x\to +\mathrm{\infty }$ $y\to +\mathrm{\infty }$, при $x\to -\mathrm{\infty }$ $y\to -\mathrm{\infty }$.

• При чётных $n$: функция ограничена снизу (минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$), но не ограничена сверху.

2.4. Область значений

• Для нечётных $n$: $E(y)=\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$ — все действительные числа.

• Для чётных $n$: $E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$ — все неотрицательные числа.

2.5. Нули функции и промежутки знакопостоянства

• Нуль функции: $x^n=0$ только при $x=0$ (для любого $n$).

• Промежутки знакопостоянства:

  • При нечётных $n$: $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$.

  • При чётных $n$: $y\ge 0$ для всех $x$, $y=0$ только при $x=0$.