Текст учебника. Урок 15. Понятие о непрерывности функции. Преобразование графиков.

2. Теоремы о непрерывности элементарных функций

В курсе алгебры мы не доказываем строго непрерывность, но принимаем следующие факты:

2.1. Непрерывность многочленов

Теорема 1: Любой многочлен $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_0$ является непрерывной функцией на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Пример 4: $y=3x^4-2x^2+5$ — непрерывна на $\mathbb{R}$.

2.2. Непрерывность рациональных функций

Теорема 2: Рациональная функция $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (где $P$ и $Q$ — многочлены) непрерывна во всех точках своей области определения, т.е. везде, где $Q(x)\mathrm{\ne }0$.

Пример 5: $y=\frac{x+1}{x-2}$ непрерывна на $(-\mathrm{\infty };2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$. В точке $x=2$ — разрыв.

2.3. Непрерывность степенных функций

Теорема 3: Степенная функция $y=x^a$ (с любым действительным показателем $a$) непрерывна на своей области определения.

Напомним области определения для разных случаев:

• При натуральном $a$: $\mathbb{R}$

• При целом отрицательном: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

• При рациональном $a=p\mathrm{/}q$ с чётным $q$: $[0;+\mathrm{\infty })$ или $(0;+\mathrm{\infty })$

2.4. Следствие

Все элементарные функции, которые мы изучаем (многочлены, рациональные, степенные, а также тригонометрические, показательные и логарифмические — в старших классах), непрерывны на своей области определения.

Это важное свойство позволяет применять метод интервалов и другие методы решения неравенств.