Текст учебника. Урок 4. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований.

3. Растяжение и сжатие вдоль осей

Это преобразование меняет форму графика, делая его более пологим или крутым.

3.1. Растяжение/сжатие вдоль оси Oy
Правило: Чтобы построить график функции $y=k\cdot f(x)$, нужно каждую точку графика $y=f(x)$ преобразовать, умножив её ординату (координату $y$) на коэффициент $k$:

• Если $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }>1$ — происходит растяжение от оси $Ox$ (график вытягивается вверх).

• Если $0<\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<1$ — происходит сжатие к оси $Ox$ (график прижимается к оси $x$).

• Пример 5: $y=3x^2$.
  Парабола $y=x^2$ становится в 3 раза "круче", уже. Все значения $y$ умножаются на 3. Точка (1;1) перейдёт в (1;3).

3.2. Растяжение/сжатие вдоль оси Ox
Правило: Чтобы построить график функции $y=f(kx)$, нужно график $y=f(x)$ преобразовать вдоль оси $Ox$. Здесь работает обратная интуиции логика:

• Если $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }>1$ — происходит сжатие к оси $Oy$ (график сужается, "пружина сжимается").

• Если $0<\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<1$ — происходит растяжение от оси $Oy$ (график расширяется).

• Пример 6: $y=\cos (2x)$ (если знакомы с тригонометрией) или $y=(3x{)}^2=9x^2$.
  График сжимается к оси $Oy$ в 2 раза. То, что парабола проходила через точку (1;1), теперь она проходит через точку $(\frac{1}{3};1)$, потому что чтобы получить $y=1$, надо $3x=1$.