Текст учебника. Урок 6. Арифметический корень n-й степени. Функция y = ⁿ√x.

2. Арифметический корень натуральной степени

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a\ge 0$ называется неотрицательное число $b\ge 0$, $n$-я степень которого равна $a$.

• Ключевое отличие: Арифметический корень всегда неотрицателен.

• Именно арифметический корень подразумевается в записи $\sqrt[n]{a}$ в школьном курсе (кроме случаев, когда отдельно оговаривается, что мы ищем все корни уравнения $x^n=a$).

• Примеры:

  • $\sqrt{16}=4$, а не $\pm 4$. Это арифметический корень.

  • $\sqrt[4]{81}=3$, так как $3^4=81$ и $3\ge 0$.

  • $\sqrt[3]{-8}$ — это корень нечётной степени из отрицательного числа. Формально, он не является арифметическим (так как арифметический только для $a\ge 0$), но мы работаем с ним по тем же правилам, помня о знаке.

Вывод: Для чётных $n$: $\sqrt[n]{a}\ge 0$ и $a\ge 0$. Для нечётных $n$: $\sqrt[n]{a}$ — действительное число, знак которого совпадает со знаком $a$.