Текст учебника. Урок 6. Арифметический корень n-й степени. Функция y = ⁿ√x.

3. Свойства арифметического корня n-й степени

Все свойства формулируются для неотрицательных подкоренных выражений (чтобы избежать проблем с чётными степенями). Пусть $a\ge 0,b\ge 0$, а $n,m,k$ — натуральные числа, $n\ge 2,m\ge 2$.

1. Корень из произведения:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$$

Корень из произведения равен произведению корней из множителей.

• Пример: $\sqrt[3]{8\cdot 27}=\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6$.

2. Корень из дроби:

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(b\mathrm{\ne }0)$$

Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

• Пример: $\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=\frac{7}{5}=1.4$.

3. Возведение корня в степень:

$$(\sqrt[n]{a}{)}^k=\sqrt[n]{a^k}$$

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

• Пример: $(\sqrt[4]{5}{)}^3=\sqrt[4]{5^3}=\sqrt[4]{125}$.

4. Извлечение корня из корня:

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$$

Корень из корня равен корню, показатель которого равен произведению показателей.

• Пример: $\sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[2\cdot 3]{729}=\sqrt[6]{729}$. Проверка: $3^6=729$, значит, ответ 3. (Или по действиям: $\sqrt[3]{729}=9,\sqrt{9}=3$).

Важное следствие (свойство 5):

$$\sqrt[n]{a^n}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$$

Если мы извлекаем корень чётной степени из чётной степени числа, результат — модуль этого числа.

• Пример: $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }$.

• Пример: $\sqrt[4]{x^4}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

• Для нечётных степеней: $\sqrt[3]{(-2{)}^3}=\sqrt[3]{-8}=-2$ — модуль не нужен, знак сохраняется.