Текст учебника. Урок 6. Арифметический корень n-й степени. Функция y = ⁿ√x.

4. Функция y = x n y= n x ​ , её свойства и график

Рассмотрим функцию $y=\sqrt[n]{x}$. Её свойства и вид графика зависят от чётности $n$.

4.1. Случай 1: $n$ — нечётное число (например, $y=\sqrt[3]{x}$)

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$ (любое действительное число, так как корень нечётной степени существует для всех $x$).

• Область значений: $E(f)=\mathbb{R}$ (функция принимает все действительные значения).

• Чётность/нечётность: Функция является нечётной, так как $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$. График симметричен относительно начала координат.

• Монотонность: Функция возрастает на всей области определения.

• График: Напоминает ветвь параболы, "положенную на бок", но симметричную относительно начала координат. Проходит через точки (-1; -1), (0; 0), (1; 1).

4.2. Случай 2: $n$ — чётное число (например, $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[4]{x}$)

• Область определения: $D(f)=[0;+\mathrm{\infty })$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным).

• Область значений: $E(f)=[0;+\mathrm{\infty })$ (корень чётной степени всегда неотрицателен).

• Чётность/нечётность: Функция не является ни чётной, ни нечётной (из-за несимметричной области определения). График расположен только в первой четверти (и в начале координат).

• Монотонность: Функция возрастает на всей области определения $[0;+\mathrm{\infty })$.

• График: Ветвь параболы, "положенная на бок". Чем выше показатель корня, тем медленнее растёт функция (график становится более пологим). Проходит через точки (0; 0) и (1; 1).

Визуализация: Учитель демонстрирует на слайде графики $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$, $y=\sqrt[4]{x}$, обращая внимание на различия.