Текст учебника. Урок 8. Иррациональные уравнения и неравенства.

1. Определение иррационального уравнения. Равносильность

1.1. Определение
Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень.

• Примеры: $\sqrt{x-2}=5$, $\sqrt[3]{x+1}=2$, $\sqrt{2x-1}=x-2$.

1.2. Понятие равносильности
Равносильными (эквивалентными) называются уравнения, у которых множества решений совпадают. В процессе решения мы заменяем исходное уравнение более простым, но при этом важно не нарушить равносильность.

1.3. Посторонние корни и потеря решений
При решении иррациональных уравнений мы часто выполняем преобразования, которые могут привести к появлению посторонних корней или к потере решений.

• Посторонние корни возникают, когда мы выполняем преобразование, расширяющее область допустимых значений (ОДЗ) уравнения, или когда возводим обе части в чётную степень без проверки знаков.

• Потеря корней происходит при делении обеих частей на выражение, содержащее переменную, или при "заужении" ОДЗ.

Главное правило: При решении иррациональных уравнений обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, если мы не следили за равносильностью переходов.