Текст учебника. Урок 10. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

1. Основное тригонометрическое тождество

1.1. Вывод тождества
Вспомним определение синуса и косинуса с помощью единичной окружности. Для произвольного угла $\alpha$ точка на единичной окружности имеет координаты $(\cos \alpha ;\sin \alpha )$.

Уравнение единичной окружности (окружности радиусом 1 с центром в начале координат):

$$x^2+y^2=1$$

Подставим координаты нашей точки:

$$(\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha {)}^2=1$$

Получаем основное тригонометрическое тождество (ОТТ):

$$\boxed{{\displaystyle {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$$

Оно выполняется для любого угла $\alpha$.

1.2. Следствия из ОТТ
Из основного тождества можно выразить одну функцию через другую.

1. Выражение синуса через косинус:

   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$$$$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$$

   Знак $\pm$ выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол $\alpha$.

2. Выражение косинуса через синус:

   $${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$$$$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$$

   Знак $\pm$ выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол $\alpha$.

Пример 1: Найти $\cos \alpha$, если $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (II четверть).

• Решение:
  Используем ОТТ: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$.
  Значит, $\cos \alpha =\pm \frac{4}{5}$.
  Определяем знак: угол $\alpha$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. Выбираем знак "минус".
  Ответ: $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$.