Текст учебника. Урок 14. Понятие о пределе и непрерывности функции. Задачи, приводящие к понятию производной.

3. Задача о мгновенной скорости (физический смысл производной)

Рассмотрим движение материальной точки вдоль прямой. Пусть $s (t)$ — закон движения, т.е. зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ .

3.1. Средняя скорость
За промежуток времени от $t_{0}$ до $t_{0} + Δ t$ точка проходит путь $Δ s = s (t_{0} + Δ t) - s (t_{0})$ .
Средняя скорость движения за этот промежуток:

$v_{ср} = \frac{Δ s}{Δ t}$

Это отношение приращения пути к приращению времени .

3.2. Мгновенная скорость
Средняя скорость не всегда точно описывает движение в конкретный момент времени (например, при разгоне). Чтобы получить скорость в момент времени $t_{0}$ (мгновенную скорость), нужно брать всё меньшие и меньшие промежутки времени $Δ t$ , устремляя его к нулю.

Мгновенная скорость — это предел, к которому стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени к нулю :

$v (t_{0}) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{s (t_{0} + Δ t) - s (t_{0})}{Δ t}$

Пример 4: Точка движется по закону $s (t) = t^{2} + 2 t$ (путь в метрах, время в секундах). Найти мгновенную скорость в момент $t_{0} = 3$ с .

Решение:
1. Найдём приращение времени $Δ t$ : $t = 3 + Δ t$ .
2. Найдём приращение пути: $Δ s = s (3 + Δ t) - s (3) = ((3 + Δ t)^{2} + 2 (3 + Δ t)) - (9 + 6)$
  $= (9 + 6 Δ t + (Δ t)^{2} + 6 + 2 Δ t) - 15 = (15 + 8 Δ t + (Δ t)^{2}) - 15 = 8 Δ t + (Δ t)^{2}$ .
3. Найдём среднюю скорость: $v_{ср} = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{8 Δ t + (Δ t)^{2}}{Δ t} = 8 + Δ t$ (при $Δ t \neq 0$ ).
4. Найдём мгновенную скорость как предел при $Δ t \to 0$ : $v (3) = \lim_{Δ t \to 0} (8 + Δ t) = 8$ .
  Ответ: 8 м/с.

Вывод: Мгновенная скорость есть производная пути по времени. Это физический смысл производной .