Текст учебника. Урок 15. Определение производной. Правила дифференцирования.

4. Правила дифференцирования

Эти правила позволяют находить производные суммы, произведения и частного функций, производные которых мы уже знаем.

Правило 1: Производная суммы/разности

$$(f(x)\pm g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)\pm g^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Производная суммы равна сумме производных.

Правило 2: Вынесение постоянного множителя

$$(C\cdot f(x){)}^{\mathrm{\prime }}=C\cdot f^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Константу можно вынести за знак производной.

Правило 3: Производная произведения

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой на вторую и первой на производную второй.

Правило 4: Производная частного

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)}{(g(x){)}^2},g(x)\mathrm{\ne }0$$

Производная частного равна дроби, где числитель — разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, а знаменатель — квадрат исходного знаменателя.

Примеры применения:

Пример 2: Найти производную $y=3x^4+5x^2-7x+2$.

• Решение: Применяем правила 1 и 2, и таблицу.
  $y^{\mathrm{\prime }}=3\cdot (x^4{)}^{\mathrm{\prime }}+5\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-7\cdot (x{)}^{\mathrm{\prime }}+(2{)}^{\mathrm{\prime }}=3\cdot 4x^3+5\cdot 2x-7\cdot 1+0=12x^3+10x-7$.

Пример 3: Найти производную $y=x^2\sin x$.

• Решение: Это произведение. $f=x^2,g=\sin x$.
  $f^{\mathrm{\prime }}=2x,g^{\mathrm{\prime }}=\cos x$.
  $y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}\sin x+x^2(\sin x{)}^{\mathrm{\prime }}=2x\sin x+x^2\cos x$.

Пример 4: Найти производную $y=\frac{x}{x^2+1}$.

• Решение: Это частное. $f=x,g=x^2+1$.
  $f^{\mathrm{\prime }}=1,g^{\mathrm{\prime }}=2x$.
  $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$.

Пример 5: Найти производную $y=5\cos x-\frac{3}{x^2}$.

• Решение: Преобразуем второе слагаемое: $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$.
  $y^{\mathrm{\prime }}=5\cdot (-\sin x)-3\cdot (-2)x^{-3}=-5\sin x+\frac{6}{x^3}$.