Текст учебника. Урок 16. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.

2. Вывод уравнения касательной

2.1. Общий вид прямой с заданным угловым коэффициентом
Любая невертикальная прямая на плоскости может быть задана уравнением:

$$y=kx+b$$

где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью $Oy$).

Для касательной в точке $M(x_0;f(x_0))$ угловой коэффициент нам уже известен: $k=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$. Подставим его в уравнение:

$$y=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x+b$$

2.2. Нахождение свободного члена $b$
Так как точка касания $M(x_0;f(x_0))$ лежит на касательной, её координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим $x=x_0$и $y=f(x_0)$:

$$f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x_0+b$$

Отсюда выражаем $b$:

$$b=f(x_0)-f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x_0$$

3.3. Общий вид уравнения касательной
Подставим найденное $b$ обратно в уравнение прямой:

$$y=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x+f(x_0)-f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x_0$$

Перегруппируем слагаемые и получим окончательную формулу уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$:

$$\boxed{{\displaystyle y=f(x_0)+f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot (x-x_0)}}$$