Текст учебника. Урок 11. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции.

2. Правила нахождения первообразных

Аналогично тому, как существуют правила вычисления производных (производная суммы, произведения, частного), существуют и правила нахождения первообразных (интегрирования). Рассмотрим два основных правила.

Правило 1: Первообразная суммы
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ — первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ является первообразной для $f(x)+g(x)$.

$$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$$

Пояснение: Производная суммы равна сумме производных, значит, и первообразная суммы равна сумме первообразных.

Пример 1:
Найти первообразную для функции $f(x)=x^2+\cos x$.
Решение:

• Первообразная для $x^2$ — это $\frac{x^3}{3}$.

• Первообразная для $\cos x$ — это $\sin x$.

• Тогда общий вид первообразных: $F(x)=\frac{x^3}{3}+\sin x+C$.

Правило 2: Постоянный множитель
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то $kF(x)$ является первообразной для $kf(x)$, где $k$ — постоянная.

$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

Пояснение: Константу можно выносить за знак производной, значит, её можно выносить и за знак первообразной.

Пример 2:
Найти первообразную для функции $f(x)=5x^4$.
Решение:

• Первообразная для $x^4$ — это $\frac{x^5}{5}$.

• Умножаем на 5: $5\cdot \frac{x^5}{5}=x^5$.

• Общий вид: $F(x)=x^5+C$.

Пример 3 (комбинированный):
Найти первообразную для функции $f(x)=3x^2-4\sin x$.
Решение:
$F(x)=3\cdot \frac{x^3}{3}-4\cdot (-\cos x)+C=x^3+4\cos x+C$.