Текст учебника. Урок 12. Определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница.

2. Задача о площади и интегральная сумма

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией $y=f(x)\ge 0$ на отрезке $[a;b]$.

Как можно вычислить её площадь приближённо?

1. Разобьём отрезок $[a;b]$ на $n$ равных частей точками $x_0=a,x_1,x_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},x_n=b$. Длина каждого отрезка $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$.

2. На каждом частичном отрезке $[x_{i-1};x_i]$ выберем произвольную точку ${\xi }_i$ и вычислим значение функции $f({\xi }_i)$.

3. Заменим площадь криволинейной полоски на этом отрезке площадью прямоугольника с основанием $\mathrm{\Delta }x$ и высотой $f({\xi }_i)$. Его площадь равна $f({\xi }_i)\cdot \mathrm{\Delta }x$.

4. Сумма площадей всех таких прямоугольников даст приближённое значение площади всей фигуры:

   $$S_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }x$$

   Эта сумма называется интегральной суммой.

Чем больше $n$ (чем мельче разбиение), тем точнее приближение. Площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм при $n\to \mathrm{\infty }$ (при условии, что этот предел существует).

2.2. Определение определённого интеграла