Текст учебника. Урок 15. Уравнения и неравенства с параметром (общие подходы).

3. Аналитический подход

Это основной метод. Он заключается в прямом решении уравнения с рассмотрением всех возможных случаев, когда выражения, зависящие от параметра, могут обращаться в ноль, менять знак и т.д.

Пример 1 (линейное уравнение):
Решить уравнение $(a-2)x=a^2-4$.

Решение:
Разложим правую часть на множители: $a^2-4=(a-2)(a+2)$. Уравнение примет вид:
$(a-2)x=(a-2)(a+2)$.

Рассмотрим случаи:

1. $a-2\mathrm{\ne }0$, т.е. $a\mathrm{\ne }2$. Тогда можно разделить обе части на $(a-2)$:
   $x=a+2$.
   Это единственное решение при каждом $a\mathrm{\ne }2$.

2. $a-2=0$, т.е. $a=2$. Подставим $a=2$ в исходное уравнение:
   $(2-2)x=(2-2)(2+2)$ => $0\cdot x=0$.
   Это верно при любом $x$. Значит, при $a=2$ решением является любое действительное число.

Ответ:

• Если $a\mathrm{\ne }2$, то $x=a+2$.

• Если $a=2$, то $x\in \mathbb{R}$.