Текст урока. Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии.

2. Разбор задач на доказательство принадлежности плоскости

Задача 1 (Устно-графическая)

Условие: Треугольник $ABC$ и точка $M$ не лежат в его плоскости. Точки $E$ и $F$ — середины отрезков $MB$ и $MC$ соответственно. Докажите, что прямая $EF$ параллельна плоскости $ABC$ (пока интуитивно, главное — доказать, что $EF$ не имеет общих точек с плоскостью и лежит в одной плоскости с $BC$).

Краткое решение (доказательство принадлежности):

1. Точки $M,B,C$ задают плоскость $MBC$ (по Теореме 1, через прямую $BC$ и точку $M$).

2. В треугольнике $MBC$, отрезок $EF$ — средняя линия ($E$ и $F$ — середины). Значит, $EF\parallel BC$.

3. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$.

4. Если $EF\parallel BC$, и $EF$ не имеет общих точек с плоскостью $ABC$ (так как $M$ вне плоскости), то $EF$ параллельна плоскости $ABC$.

Вывод: Для доказательства часто нужно сначала «посадить» фигуру в одну плоскость, используя аксиомы.

Задача 2 (Письменно, с чертежом)

Условие: Точки $A,B,C$ лежат в плоскости $\alpha$, а точка $D$ не лежит в $\alpha$. Точки $K,L,M$ — середины отрезков $AD,BD,CD$ соответственно. Докажите, что плоскость $KLM$ параллельна плоскости $ABC$ (введение понятия: через середины ребер).

Ход рассуждений:

1. В треугольнике $ADB$: $KL$ — средняя линия → $KL\parallel AB$.

2. В треугольнике $ADC$: $KM$ — средняя линия → $KM\parallel AC$.

3. Прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости $ABC$.

4. Две пересекающиеся прямые $KL$ и $KM$ задают плоскость $KLM$ (Теорема 2).

5. Следовательно, плоскость $KLM$ параллельна плоскости $ABC$ (по признаку параллельности плоскостей — забегая вперед).