Текст урока. Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии.

3. Задачи на нахождение линии пересечения плоскостей

Ключевое правило: Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, проходящая через две общие точки этих плоскостей (А3).

Задача 3 (Базовая, на кубе)

Условие: Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Найдите линию пересечения плоскостей:
а) $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ . (Ответ: эти плоскости параллельны — нет общих точек, не пересекаются).
б) $A A_{1} C_{1}$ и $B B_{1} D_{1}$ .

Решение пункта (б) с чертежом:

Плоскость $A A_{1} C_{1}$ (диагональное сечение) содержит диагональ $A C$ и ребро $A A_{1}$ .
Плоскость $B B_{1} D_{1}$ содержит диагональ $B D$ и ребро $B B_{1}$ .
Найдем общие точки:
- Ребра $A A_{1}$ и $B B_{1}$ параллельны и не пересекаются.
- Диагонали оснований $A C$ и $B D$ пересекаются в центре нижнего основания — точке $O$ .
- Диагонали верхнего основания $A_{1} C_{1}$ и $B_{1} D_{1}$ пересекаются в центре верхнего основания — точке $O_{1}$ .
Точка $O$ принадлежит плоскости $A A_{1} C_{1}$ (лежит на $A C$ ) и плоскости $B B_{1} D_{1}$ (лежит на $B D$ ).
Точка $O_{1}$ принадлежит плоскости $A A_{1} C_{1}$ (лежит на $A_{1} C_{1}$ ) и плоскости $B B_{1} D_{1}$ (лежит на $B_{1} D_{1}$ ).
По аксиоме А3, плоскости пересекаются по прямой $O O_{1}$ .

Ответ: $O O_{1}$ .

Задача 4 (С тетраэдром)

Условие: В тетраэдре $D A B C$ точки $M \in D C$ , $N \in B C$ . Постройте линию пересечения плоскости $(A B C)$ и плоскости $(M N B)$ .

Решение:

Плоскость $A B C$ — основание.
Плоскость $M N B$ проходит через точки $N$ (на $B C$ ) и $B$ (вершина). Эти две точки уже лежат в плоскости $A B C$ !
Значит, прямая $N B$ — это и есть линия пересечения плоскостей $A B C$ и $M N B$ .