Текст урока. Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии.

4. Построение сечений многогранников (простейшие способы)

Введение понятия:

• Секущая плоскость — любая плоскость, которая пересекает многогранник.

• Сечение — многоугольник, получившийся при пересечении многогранника с секущей плоскостью (это «срез»).

• Правило построения: Секущая плоскость пересекает грани по отрезкам. Концы отрезков лежат на ребрах многогранника.

Метод «по следам» (простейший случай — когда секущая плоскость проходит через точки на ребрах)

Пример: Построить сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M\in DA$, $N\in DB$, $K\in DC$ (все на ребрах, выходящих из $D$).

Построение (учитель чертит на доске, ученики в тетради):

1. Соединяем точки, лежащие в одной грани:

   • $M$ и $N$ лежат в грани $DAB$ → проводим $MN$.

   • $N$ и $K$ лежат в грани $DBC$ → проводим $NK$.

   • $K$ и $M$ лежат в грани $DAC$ → проводим $KM$.

2. Получили треугольник $MNK$. Это и есть сечение.

Случай сложнее (одна точка на ребре, две на гранях): (даем без доказательства, просто алгоритм)

• Плоскость проходит через точки $P\in AB$, $Q\in AC$, $R\in AD$ (тетраэдр). Строим аналогично: $PQ,QR,PR$. Сечение — треугольник.

Вывод: Чтобы построить сечение, нужно:

1. Найти точки пересечения секущей плоскости с каждым ребром.

2. Соединить эти точки отрезками в порядке обхода грани.