Текст урока. Урок 13. Перпендикулярность плоскостей. Прямоугольный параллелепипед.

3. Признак перпендикулярности плоскостей (главная теорема)

Формулировка: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Краткая запись:

$$a\perp \beta ,a\subset \alpha \Rightarrow \alpha \perp \beta$$

Геометрическая иллюстрация:

• Плоскость $\beta$ (горизонтальная).

• Прямая $a$ перпендикулярна $\beta$ (вертикаль).

• Плоскость $\alpha$ проходит через $a$ (например, вертикальная плоскость, содержащая эту вертикаль).

• Утверждается: $\alpha \perp \beta$.

Доказательство:

1. Пусть $a\perp \beta$, $a\subset \alpha$, и $\alpha \cap \beta =c$ (линия пересечения плоскостей).

2. Так как $a\perp \beta$, то $a\perp c$ (прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $c$).

3. Проведём в плоскости $\beta$ через точку пересечения $a$ и $c$ (точку $O$) прямую $b$, перпендикулярную $c$.

4. Имеем: $a\perp c$ и $b\perp c$. Значит, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

5. Но $a\perp \beta$, значит $a\perp b$ (так как $b\subset \beta$). Следовательно, угол между $a$ и $b$ равен ${90}^{\circ }$.

6. Таким образом, линейный угол двугранного угла равен ${90}^{\circ }$ ⇒ плоскости перпендикулярны. Теорема доказана.

Практический смысл: Чтобы стена была перпендикулярна полу, достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну прямую, перпендикулярную полу (например, вертикальный угол комнаты).