Текст урока. Урок 13. Перпендикулярность плоскостей. Прямоугольный параллелепипед.

6. Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда

Теорема: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

$$d^2=a^2+b^2+c^2$$

Доказательство (для диагонали $A{C}_1$):

1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ с измерениями $AB=a$, $AD=b$, $A{A}_1=c$.

2. Диагональ основания $AC$ найдём по теореме Пифагора из треугольника $ABC$ ( $\mathrm{\angle }B={90}^{\circ }$ ):

   $$A{C}^2=a^2+b^2$$

3. Рассмотрим треугольник $AC{C}_1$. В нём $A{C}_1$ — диагональ параллелепипеда, $AC$ — диагональ основания, $C{C}_1=c$ — боковое ребро.

4. Так как $C{C}_1\perp (ABC)$, то $C{C}_1\perp AC$ (любой прямой в плоскости основания). Значит, $\mathrm{\angle }AC{C}_1={90}^{\circ }$.

5. По теореме Пифагора для треугольника $AC{C}_1$:

   $$A{C}_1^2=A{C}^2+C{C}_1^2=(a^2+b^2)+c^2=a^2+b^2+c^2$$

6. Следовательно, $d^2=a^2+b^2+c^2$. Теорема доказана.

Следствие: Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, так как их квадраты равны одной и той же сумме.

Важный частный случай — куб: $a=b=c$. Тогда $d^2=3a^2$, $d=a\sqrt{3}$.