Текст урока. Урок 2. Сечения цилиндра. Площадь поверхности цилиндра.

1. Сечения цилиндра плоскостью

Если пересечь цилиндр воображаемой плоскостью, форма среза будет зависеть от того, как именно эта плоскость расположена относительно оси цилиндра. Рассмотрим три основных случая.

А) Сечение, параллельное оси цилиндра

Как строим: Плоскость режет цилиндр вертикально, но не проходит через центр (или проходит — частный случай).

Форма сечения: Прямоугольник (или квадрат, если высота равна диаметру).

Пояснение: Плоскость пересекает оба основания по хордам, а боковую поверхность — по двум образующим. Получается четырехугольник с прямыми углами.

Пример: Если разрезать трубу вдоль (не через центр), в разрезе увидим прямоугольник.

Б) Сечение, перпендикулярное оси

Как строим: Плоскость горизонтальна, строго параллельна основаниям.

Форма сечения: Круг, равный основанию цилиндра.

Пояснение: Любое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, дает круг того же радиуса $R$. Представьте, что вы отрезали от банки «шайбу» — её верх и низ — одинаковые круги.

В) Сечение, наклонное к оси

Как строим: Плоскость проходит под углом к оси, пересекая все образующие.

Форма сечения: Эллипс (овал).

Общее представление: Если вы нарежете колбасу (цилиндр) наискосок, срез будет овальным. В школьном курсе это рассматривается без доказательства, только как визуальный факт.

Г) Осевое сечение (важнейший частный случай)

Определение:
Осевым сечением цилиндра называется сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Свойства осевого сечения:

• Это прямоугольник.

• Его стороны:

  • Высота цилиндра $h$.

  • Диаметр основания $2R$.

• Площадь осевого сечения: $S_{\text{ос}\mathrm{.}\text{сеч}}=2R\cdot h$.

Пример: Если разрезать банку ровно пополам сверху вниз через центр, получится прямоугольный «профиль» банки.