Текст урока. Урок 10. Объём конуса и шара.

4. Объём шара

Теорема

Объём шара радиуса $R$ равен:

$$\boxed{{\displaystyle V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3}}$$

Идея доказательства (через принцип Кавальери)

Этот способ элегантен и не требует интегралов.

Рассмотрим:

• Шар радиуса $R$.

• Цилиндр радиуса $R$ и высоты $2R$ (высота равна диаметру шара).

• Из этого цилиндра вырежем два конуса с общим основанием (вершинами в центре цилиндра) — получится тело, которое называют «тело Кавальери».

Утверждение: Объём полушария радиуса $R$ равен разности объёма цилиндра и объёма конуса (для половины высоты).

Ключевой момент: При сечении полушария горизонтальной плоскостью на высоте $x$ от центра получается круг радиуса $\sqrt{R^2-x^2}$, площадь $\pi (R^2-x^2)$.

При сечении «тела, оставшегося от цилиндра после удаления конусов», на той же высоте получается кольцо с площадью $\pi R^2-\pi x^2=\pi (R^2-x^2)$.

Площади сечений равны → по принципу Кавальери объёмы этих тел равны.

Вычисляем объём полушария:

$$V_{\text{полушара}}=\pi R^2\cdot R-\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R=\pi R^3-\frac{1}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$$

Отсюда объём целого шара:

$$V_{\text{шара}}=2\cdot \frac{2}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3$$

В альтернативе: Формулу выводят интегрированием (как сумму площадей кругов-сечений по высоте), но в школе часто дают готовый результат.