Текст урока. Урок 14. Прямоугольная система координат в пространстве.

5. Простейшие задачи в координатах

А) Координаты середины отрезка

Пусть $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$. Середина $M$ отрезка $AB$ имеет координаты:

$$\boxed{{\displaystyle M(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2})}}$$

Б) Длина вектора (модуль)

Если $\vec{a}(x;y;z)$, то его длина:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}$$

В) Расстояние между двумя точками

Расстояние $d$ между точками $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$ равно длине вектора $\overrightarrow{AB}$

$$\boxed{{\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}}}$$

Факт: Это прямое обобщение теоремы Пифагора на пространство. Формула верна для любой прямоугольной системы координат.