Текст учебника. Урок 1. Рациональные неравенства. Понятие и равносильность.

1. Актуализация знаний

Повторение решения квадратных неравенств и метода интервалов

Пример 1: Решить неравенство: $x^2-5x+6>0$
Решение:

1. Находим корни уравнения $x^2-5x+6=0$:
   $x_1=2$, $x_2=3$

2. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, парабола ветвями вверх

3. Решение: $x\in (-\mathrm{\infty };2)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

Пример 2: Решить неравенство методом интервалов: $(x-1)(x+2)(x-4)\le 0$
Решение:

1. Находим нули функции: $x=1$, $x=-2$, $x=4$

2. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знаки на интервалах:

   • При $x<-2$: $(-)\cdot (-)\cdot (-)=(-)$

   • При $-2<x<1$: $(-)\cdot (+)\cdot (-)=(+)$

   • При $1<x<4$: $(+)\cdot (+)\cdot (-)=(-)$

   • При $x>4$: $(+)\cdot (+)\cdot (+)=(+)$

3. Решение: $x\in [-2;1]\cup [4;+\mathrm{\infty })$

2. Определение рационального неравенства

Рациональное неравенство — неравенство вида:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}◃0$$

где:

• $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены

• $◃$ — один из знаков сравнения: $<$, $>$, $\le$, $\ge$

Стандартный вид рационального неравенства:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0\text{или}\frac{P(x)}{Q(x)}<0$$$$\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0\text{или}\frac{P(x)}{Q(x)}\le 0$$

Область допустимых значений (ОДЗ): $Q(x)\mathrm{\ne }0$

Пример 3: Определить вид неравенства и ОДЗ:

1. $\frac{x^2-4}{x+3}>0$ — рациональное неравенство, ОДЗ: $x\mathrm{\ne }-3$

2. $\frac{2x-1}{x^2+5}\le 0$ — рациональное неравенство, ОДЗ: $x\in \mathbb{R}$ (так как $x^2+5>0$ для всех $x$)

3. Понятие равносильности неравенств

Определение: Два неравенства называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Основные теоремы о равносильности:

Теорема 1 (перенос слагаемых):
Неравенство $f(x)>g(x)$ равносильно неравенству $f(x)-g(x)>0$

Теорема 2 (умножение на число):

1. Если $c>0$, то неравенство $f(x)>g(x)$ равносильно неравенству $c\cdot f(x)>c\cdot g(x)$

2. Если $c<0$, то неравенство $f(x)>g(x)$ равносильно неравенству $c\cdot f(x)<c\cdot g(x)$

Пример 4: Показать равносильность преобразований:

1. $3x-5>2x+1$ равносильно $3x-2x>1+5$ (перенос слагаемых)

2. $\frac{1}{2}x<4$ равносильно $x<8$ (умножение на положительное число 2)

3. $-\frac{1}{3}x>6$ равносильно $x<-18$ (умножение на отрицательное число -3, знак меняется)

4. Теорема о равносильности рационального неравенства

Теорема: Неравенство $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ равносильно неравенству $P(x)\cdot Q(x)>0$ при условии $Q(x)\mathrm{\ne }0$.

Доказательство:

1. Пусть $x_0$ — решение неравенства $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$
   Тогда $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}>0$ и $Q(x_0)\mathrm{\ne }0$ (по ОДЗ)

2. Дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:

   • Либо $P(x_0)>0$ и $Q(x_0)>0$

   • Либо $P(x_0)<0$ и $Q(x_0)<0$
     В обоих случаях $P(x_0)\cdot Q(x_0)>0$

3. Обратно, если $P(x_0)\cdot Q(x_0)>0$ и $Q(x_0)\mathrm{\ne }0$, то:

   • Произведение положительно, значит $P(x_0)$ и $Q(x_0)$ имеют одинаковые знаки

   • Следовательно, $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}>0$

4. Таким образом, неравенства равносильны на ОДЗ исходного неравенства.

Аналогичные теоремы:

• $\frac{P(x)}{Q(x)}<0\iff P(x)\cdot Q(x)<0,Q(x)\mathrm{\ne }0$

• $\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0\iff \{\begin{array}{l}P(x)\cdot Q(x)\ge 0\\ Q(x)\mathrm{\ne }0\end{array}$

• $\frac{P(x)}{Q(x)}\le 0\iff \{\begin{array}{l}P(x)\cdot Q(x)\le 0\\ Q(x)\mathrm{\ne }0\end{array}$

Пример 5: Решить неравенство $\frac{x-2}{x+1}>0$
Решение:

1. По теореме: $\frac{x-2}{x+1}>0\iff (x-2)(x+1)>0,x\mathrm{\ne }-1$

2. Решаем $(x-2)(x+1)>0$ методом интервалов:
   Нули: $x=2$, $x=-1$
   Интервалы знакопостоянства: $(-\mathrm{\infty };-1)$ — знак "+", $(-1;2)$ — знак "-", $(2;+\mathrm{\infty })$ — знак "+"

3. Решение неравенства: $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

4. Учитываем ОДЗ: $x\mathrm{\ne }-1$ (уже исключено)

5. Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

Пример 6: Решить неравенство $\frac{x^2-9}{x-1}\le 0$
Решение:

1. По теореме: $\frac{x^2-9}{x-1}\le 0\iff \{\begin{array}{l}(x^2-9)(x-1)\le 0\\ x-1\mathrm{\ne }0\end{array}$

2. Решаем $(x-3)(x+3)(x-1)\le 0$ методом интервалов:
   Нули: $x=-3$, $x=1$, $x=3$
   Определяем знаки:
   $(-\mathrm{\infty };-3)$ — знак "-"
   $(-3;1)$ — знак "+"
   $(1;3)$ — знак "-"
   $(3;+\mathrm{\infty })$ — знак "+"

3. Решение: $x\in (-\mathrm{\infty };-3]\cup [1;3]$

4. Учитываем ОДЗ: $x\mathrm{\ne }1$ (исключаем точку 1)

5. Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-3]\cup (1;3]$

5. Итоги урока

1. Рациональное неравенство имеет вид $\frac{P(x)}{Q(x)}◃0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены

2. Область допустимых значений: $Q(x)\mathrm{\ne }0$

3. Два неравенства равносильны, если имеют одинаковые решения

4. Основные преобразования, сохраняющие равносильность: перенос слагаемых, умножение на положительное число

5. Ключевая теорема: $\frac{P(x)}{Q(x)}>0\iff P(x)\cdot Q(x)>0$ при $Q(x)\mathrm{\ne }0$

Домашнее задание:

1. Решить неравенства:
   а) $\frac{x+4}{x-2}>0$
   б) $\frac{2x-6}{x+1}\le 0$
   в) $\frac{x^2-4x}{x+3}\ge 0$

2. Доказать теорему о равносильности для неравенства $\frac{P(x)}{Q(x)}<0$