Текст учебника. Урок 3. Системы неравенств с одной переменной.

1. Определение решения системы неравенств

Что такое система неравенств?

В жизни часто возникают ситуации, когда нужно удовлетворить не одному, а нескольким условиям одновременно. Например, чтобы поехать на экскурсию, нужно одновременно: быть ростом выше 120 см (чтобы сесть в автобус) и быть младше 16 лет (по условиям организаторов). Это и есть система условий.

Определение: Системой неравенств с одной переменной называется несколько неравенств, объединённых фигурной скобкой, для которых требуется найти все значения переменной, удовлетворяющие одновременно каждому неравенству системы.

Общий вид:

$$\{\begin{array}{l}{f}_1(x)>0\\ f_2(x)\le 0\\ f_3(x)\ge 0\end{array}$$

(количество неравенств может быть любым, знаки могут быть разными)

Определение решения системы: Решением системы неравенств называется такое значение переменной, которое обращает в верное числовое неравенство каждое из неравенств системы.

Пример 1:
Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}x>2\\ x<7\end{array}$$

Число 5: подставим в первое $5>2$ — верно, во второе $5<7$ — верно. Значит, 5 — решение системы.
Число 1: $1>2$ — неверно, значит, не является решением (хотя $1<7$ верно, нужно выполнение всех условий).
Число 8: $8<7$ — неверно, значит, не является решением.

2. Принцип равносильности систем

Решение системы как пересечение решений

Основной принцип: Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений каждого неравенства, входящего в систему.

Математическая запись:
Если $A$ — множество решений первого неравенства, $B$ — множество решений второго неравенства, то решение системы: $A\cap B$.

Геометрическая интерпретация:
На числовой прямой решения каждого неравенства изображаются своими промежутками. Решение системы — это та часть прямой, которая принадлежит всем этим промежуткам одновременно (где они "перекрываются").

Пример 2:
Решим систему:

$$\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x<3\end{array}$$

• Решение первого: $[-1;+\mathrm{\infty })$

• Решение второго: $(-\mathrm{\infty };3)$

• Пересечение: $[-1;3)$

Важное замечание: Если пересечение оказывается пустым, система не имеет решений.

Пример 3 (система без решений):

$$\{\begin{array}{l}x<-2\\ x>5\end{array}$$

Первое неравенство даёт $(-\mathrm{\infty };-2)$, второе — $(5;+\mathrm{\infty })$. Эти множества не пересекаются. Ответ: $\mathrm{\varnothing }$ (нет решений).

3. Алгоритм решения системы неравенств

Пошаговый алгоритм

Для решения системы неравенств с одной переменной рекомендуется следующий алгоритм:

Шаг 1. Решить каждое неравенство системы по отдельности (получить множество решений каждого).

Шаг 2. Начертить одну числовую прямую и на ней отметить все граничные точки из решений всех неравенств.

Шаг 3. Для каждого неравенства штриховкой или дугой сверху показать его решение.

Шаг 4. Найти пересечение всех решений — область, где штриховки совпадают (или ту часть прямой, которая принадлежит всем решениям одновременно).

Шаг 5. Записать ответ в виде промежутка или объединения промежутков (если решений нет, записать $\mathrm{\varnothing }$).

Пример 4: Система из двух линейных неравенств

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}2x-5<3\\ 7-4x\le 15\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое неравенство:
   $2x-5<3$
   $2x<8$
   $x<4$
   Ответ первого: $(-\mathrm{\infty };4)$

2. Решаем второе неравенство:
   $7-4x\le 15$
   $-4x\le 8$ | делим на -4 (знак меняем!)
   $x\ge -2$
   Ответ второго: $[-2;+\mathrm{\infty })$

3. Изображаем на числовой прямой:

-----[-2]-----------------(4)---->
      /////////////////////////   (решение второго: x ≥ -2)
////////////////////////////       (решение первого: x < 4)

1. Пересечение: там, где есть обе штриховки — от -2 до 4.

2. Записываем ответ: $[-2;4)$

Пример 5: Система с квадратным неравенством

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+3<0\\ x+1>0\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое неравенство (квадратное):
   $x^2-4x+3=0$
   $D=16-12=4$, корни: $x_1=1$, $x_2=3$
   Ветви параболы вверх, неравенство строгое (< 0), значит решение: $(1;3)$

2. Решаем второе неравенство (линейное):
   $x+1>0$
   $x>-1$
   Решение: $(-1;+\mathrm{\infty })$

3. Находим пересечение:

   • Первое: $(1;3)$

   • Второе: $(-1;+\mathrm{\infty })$
     Пересечение: $(1;3)$ (так как этот промежуток полностью входит во второй)

4. Ответ: $(1;3)$

Пример 6: Система из трёх неравенств

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}3x-5\le 1\\ x+2>0\\ x\le 4\end{array}$$

Решение:

1. Решаем каждое:

   • Первое: $3x\le 6$ → $x\le 2$ → $(-\mathrm{\infty };2]$

   • Второе: $x>-2$ → $(-2;+\mathrm{\infty })$

   • Третье: $x\le 4$ → $(-\mathrm{\infty };4]$

2. Изображаем на прямой:

---(-2)--------[2]--------(4)--->
     /////////////////////////    (второе: x > -2)
///////////////////////////////    (третье: x ≤ 4)
////////////////////                (первое: x ≤ 2)

1. Пересечение трёх множеств: от -2 до 2, причём -2 не входит (из второго), 2 входит (из первого и третьего).

2. Ответ: $(-2;2]$

Пример 7: Система с двойным неравенством

Двойное неравенство вида $a<f(x)<b$ можно рассматривать как систему:

$$\{\begin{array}{l}f(x)>a\\ f(x)<b\end{array}$$

Решить двойное неравенство: $-2<2x-4\le 5$

Решение:

1. Записываем в виде системы:

   $$\{\begin{array}{l}2x-4>-2\\ 2x-4\le 5\end{array}$$

2. Решаем каждое:

   • Первое: $2x>2$ → $x>1$ → $(1;+\mathrm{\infty })$

   • Второе: $2x\le 9$ → $x\le 4.5$ → $(-\mathrm{\infty };4.5]$

3. Пересечение: $(1;4.5]$

4. Ответ: $(1;4.5]$

4. Понятие совокупности неравенств

Что такое совокупность?

В отличие от системы, где нужно выполнение всех условий одновременно, в совокупности требуется выполнение хотя бы одного из условий.

Определение: Совокупностью неравенств называется несколько неравенств, объединённых квадратной скобкой, для которых требуется найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из неравенств совокупности.

Обозначение:

$$[\begin{array}{c}{\displaystyle f_1(x)>0}\\ {\displaystyle f_2(x)\le 0}\\ {\displaystyle f_3(x)\ge 0}\end{array}$$

(читается: "совокупность неравенств")

Различие между системой и совокупностью

Пример 8: Система vs Совокупность

Рассмотрим два похожих выражения:

1. Система:

   $$\{\begin{array}{l}x>0\\ x<2\end{array}$$

   Нужно, чтобы $x$ был одновременно больше 0 и меньше 2. Решение: $(0;2)$

2. Совокупность:

   $$[\begin{array}{c}{\displaystyle x>0}\\ {\displaystyle x<2}\end{array}$$

   Нужно, чтобы $x$ был больше 0 или меньше 2. Этому условию удовлетворяют вообще все числа, кроме, может быть, каких-то? Проверим:

   • Если $x=5$: $5>0$ — верно, значит, подходит.

   • Если $x=-3$: $-3<2$ — верно, значит, подходит.

   • Любое число удовлетворяет либо первому, либо второму (а многие — обоим). Решение: вся числовая прямая $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

Пример 9: Решение совокупности неравенств

Решить совокупность:

$$[\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-4<0}\\ {\displaystyle x+1\ge 0}\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое неравенство:
   $x^2-4<0$
   $(x-2)(x+2)<0$
   Решение: $(-2;2)$

2. Решаем второе неравенство:
   $x+1\ge 0$
   $x\ge -1$
   Решение: $[-1;+\mathrm{\infty })$

3. Находим объединение решений:

   • Первое: $(-2;2)$

   • Второе: $[-1;+\mathrm{\infty })$
     Объединение: $(-2;+\mathrm{\infty })$
     (Проверяем: числа от -2 до -1 входят из первого, числа от -1 и дальше входят из второго)

4. Ответ: $(-2;+\mathrm{\infty })$

5. Комбинированные примеры

Пример 10: Система из трёх неравенств с квадратными

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+6\le 0\\ x^2-9>0\\ x+4>0\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое:
   $x^2-5x+6=0$, корни 2 и 3, ветви вверх, ≤ 0 → $[2;3]$

2. Решаем второе:
   $x^2-9>0$
   $(x-3)(x+3)>0$ → $(-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

3. Решаем третье:
   $x+4>0$ → $x>-4$ → $(-4;+\mathrm{\infty })$

4. Находим пересечение трёх множеств:

   • Первое: $[2;3]$

   • Второе: $(-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

   • Третье: $(-4;+\mathrm{\infty })$

   Пересекаем по шагам:
   Пересечение первого и второго: из $[2;3]$ во второе попадает только точка 3? Но второе строгое, 3 не входит, и интервал (3; +∞) пересекается с [2;3] только в пустом множестве. Значит, пересечение первого и второго пусто? Проверим:

   • В первом [2;3], во втором (3;+∞). Их пересечение — пусто, так как 3 не входит во второе.

   • Но есть ещё часть второго (-∞;-3), но она не пересекается с [2;3].

   Значит, пересечение первого и второго — пустое множество. Тогда и пересечение всех трёх — пусто.

5. Ответ: $\mathrm{\varnothing }$ (нет решений)

Пример 11: Система с параметром (для сильных учеников)

При каких значениях $a$ система неравенств имеет ровно три целых решения?

$$\{\begin{array}{l}x\ge a\\ x<5\end{array}$$

Решение:

1. Решение системы: $[a;5)$

2. Целые числа в этом промежутке зависят от $a$.

3. Нужно ровно три целых числа. Какие это могут быть?

   • Если промежуток содержит числа 2, 3, 4 — это три целых числа. Тогда левая граница должна быть $1<a\le 2$ (чтобы 1 не входила, а 2 входила).

   • Проверим: при $a=2$: промежуток $[2;5)$ содержит целые 2, 3, 4 — три числа.

   • При $a=1.5$: промежуток $[1.5;5)$ содержит целые 2, 3, 4 — три числа.

   • При $a=2.1$: промежуток $[2.1;5)$ содержит целые 3, 4 — два числа.

   • При $a=1$: промежуток $[1;5)$ содержит целые 1, 2, 3, 4 — четыре числа.

4. Ответ: $a\in (1;2]$

6. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Путают систему и совокупность: ставят фигурную скобку там, где нужно квадратную, и наоборот.

2. Неправильно находят пересечение: забывают, что нужно одновременное выполнение, и берут объединение.

3. Ошибки при делении на отрицательное число: забывают менять знак неравенства.

4. Неправильно изображают на прямой: путают, куда направлять штриховку.

5. Не включают/исключают граничные точки: забывают проверить строгость неравенств.

Полезные советы:

1. Всегда решайте каждое неравенство отдельно и чётко выписывайте его решение.

2. Используйте цветные карандаши или разную штриховку для разных неравенств на числовой прямой.

3. Проверяйте граничные точки подстановкой в исходную систему.

4. Помните: если в системе есть противоречивые требования — решений нет.

7. Итоги урока

Главные выводы:

1. Система неравенств требует выполнения всех условий одновременно.

2. Решение системы — пересечение решений каждого неравенства.

3. Совокупность неравенств требует выполнения хотя бы одного условия.

4. Решение совокупности — объединение решений каждого неравенства.

5. Для наглядности всегда используйте числовую прямую.

Сравнительная таблица: