Текст учебника. Урок 5. Метод алгебраического сложения.

1. Теоретическая основа метода

Почленное сложение и вычитание уравнений

В основе метода алгебраического сложения лежит важное свойство равенств: если два числа равны и два других числа равны, то их суммы (и разности) также равны.

Теорема (о почленном сложении уравнений):
Если даны два верных равенства:

$$a=b\text{и}c=d,$$

то справедливы также равенства:

$$a+c=b+d\text{(почленное сложение)}$$$$a-c=b-d\text{(почленное вычитание)}$$

Применительно к системе уравнений:
Если пара чисел $(x_0;y_0)$ удовлетворяет каждому уравнению системы:

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y=C_1\\ A_{2}x+B_{2}y=C_2\end{array}$$

то эта же пара удовлетворяет и уравнению, полученному почленным сложением (или вычитанием) исходных уравнений:

$$(A_1+A_2)x+(B_1+B_2)y=C_1+C_2$$

Важное следствие: Если мы заменим одно из уравнений системы его суммой с другим уравнением (умноженным на некоторое число), то получим систему, равносильную исходной.

Почему это работает?

Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 5x-3y=1\end{array}$$

Если $(x;y)$ — решение, то:

• $2x+3y=8$ (верно)

• $5x-3y=1$ (верно)

Сложим левые и правые части:
$(2x+3y)+(5x-3y)=8+1$
$7x=9$

Полученное уравнение — следствие исходной системы. Любое решение исходной системы удовлетворяет этому уравнению. Более того, если мы объединим его с одним из исходных уравнений, мы получим систему, равносильную исходной.

2. Алгоритм метода алгебраического сложения

Основная идея

Метод алгебраического сложения позволяет исключить одну из переменных, добившись того, чтобы коэффициенты при этой переменной в двух уравнениях были противоположными числами (для сложения) или одинаковыми (для вычитания).

Пошаговый алгоритм

Шаг 1. Привести оба уравнения к стандартному виду $ax+by=c$ (все члены с переменными в левой части, свободный член — в правой).

Шаг 2. Определить, какую переменную удобнее исключить (ту, у которой легче сделать коэффициенты одинаковыми или противоположными).

Шаг 3. Умножить одно или оба уравнения на подходящие числа (не равные нулю) так, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали:

• Противоположными (например, 3 и -3) — тогда уравнения складывают

• Одинаковыми (например, 5 и 5) — тогда из одного уравнения вычитают другое

Шаг 4. Выполнить сложение или вычитание уравнений почленно. В результате получается уравнение с одной переменной.

Шаг 5. Решить полученное линейное уравнение и найти значение одной переменной.

Шаг 6. Подставить найденное значение в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.

Шаг 7. Записать ответ в виде пары чисел $(x;y)$.

Пример 1: Простейший случай (коэффициенты уже противоположны)

Решить систему методом алгебраического сложения:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 5x-3y=1\end{array}$$

Решение:

1. Коэффициенты при $y$: $+3$ и $-3$ — уже противоположны. Значит, можно сразу складывать уравнения.

2. Складываем почленно:
   $(2x+5x)+(3y-3y)=8+1$
   $7x+0=9$
   $7x=9$
   $x=\frac{9}{7}$

3. Подставляем $x=\frac{9}{7}$ в первое уравнение:
   $2\cdot \frac{9}{7}+3y=8$
   $\frac{18}{7}+3y=8$
   $3y=8-\frac{18}{7}=\frac{56}{7}-\frac{18}{7}=\frac{38}{7}$
   $y=\frac{38}{7}:3=\frac{38}{7}\cdot \frac{1}{3}=\frac{38}{21}$

4. Ответ: $(\frac{9}{7};\frac{38}{21})$

Пример 2: Требуется умножение одного уравнения

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ 5x+3y=19\end{array}$$

Решение:

1. Выберем для исключения переменную $y$. Нужно сделать коэффициенты при $y$ противоположными. Сейчас они $2$ и $3$. Наименьшее общее кратное — 6.

2. Умножим первое уравнение на 3, второе на -2 (чтобы получить $6y$ и $-6y$):

   $$\{\begin{array}{l}9x+6y=36\\ -10x-6y=-38\end{array}$$

3. Складываем уравнения:
   $(9x-10x)+(6y-6y)=36-38$
   $-x=-2$
   $x=2$

4. Подставляем $x=2$ в первое исходное уравнение:
   $3\cdot 2+2y=12$
   $6+2y=12$
   $2y=6$
   $y=3$

5. Ответ: $(2;3)$

Альтернативный подход: Можно было умножить первое на 3, второе на 2 и вычесть уравнения. Результат будет тот же.

Пример 3: Требуется умножение обоих уравнений

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}4x-3y=5\\ 3x+2y=8\end{array}$$

Решение:

1. Исключим переменную $x$. Коэффициенты при $x$: 4 и 3. Наименьшее общее кратное — 12.

2. Умножим первое уравнение на 3, второе на -4 (чтобы получить $12x$ и $-12x$):

   $$\{\begin{array}{l}12x-9y=15\\ -12x-8y=-32\end{array}$$

3. Складываем:
   $(12x-12x)+(-9y-8y)=15-32$
   $-17y=-17$
   $y=1$

4. Подставляем $y=1$ во второе исходное уравнение:
   $3x+2\cdot 1=8$
   $3x+2=8$
   $3x=6$
   $x=2$

5. Ответ: $(2;1)$

3. Анализ случаев

При решении систем методом алгебраического сложения могут возникнуть три типичные ситуации.

Случай 1: Получение линейного уравнения (единственное решение)

Это стандартный случай, рассмотренный в примерах выше. После сложения получаем уравнение вида $kx=m$ (или $ky=m$), где $k\mathrm{\ne }0$. Система имеет единственное решение.

Случай 2: Получение тождества (бесконечно много решений)

Если после сложения (или вычитания) мы получаем равенство, верное при любых значениях переменных (например, $0=0$ или $5=5$), это означает, что уравнения системы зависимы — фактически это одно и то же уравнение, записанное в разном виде.

Пример 4:
Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=6\\ 4x+6y=12\end{array}$$

Решение:

1. Умножим первое уравнение на -2:

   $$\{\begin{array}{l}-4x-6y=-12\\ 4x+6y=12\end{array}$$

2. Складываем:
   $(-4x+4x)+(-6y+6y)=-12+12$
   $0=0$ — тождество.

Вывод: Второе уравнение — это первое, умноженное на 2. Система имеет бесконечно много решений. Все они удовлетворяют уравнению $2x+3y=6$.

Как записать ответ?
Выражаем одну переменную через другую, например:
$y=\frac{6-2x}{3}=2-\frac{2x}{3}$
Ответ: $(x;2-\frac{2x}{3})$, где $x$ — любое действительное число.

Случай 3: Получение противоречия (нет решений)

Если после сложения мы получаем неверное равенство (например, $0=5$ или $0=-3$), это означает, что система несовместна — уравнения противоречат друг другу.

Пример 5:
Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=6\\ 2x+3y=8\end{array}$$

Решение:

1. Умножим первое уравнение на -1:

   $$\{\begin{array}{l}-2x-3y=-6\\ 2x+3y=8\end{array}$$

2. Складываем:
   $(-2x+2x)+(-3y+3y)=-6+8$
   $0=2$ — противоречие.

Вывод: Система не имеет решений. Ответ: $\mathrm{\varnothing }$ (пустое множество).

4. Сравнение методов подстановки и сложения

Пример 6 (сравнение): Решить систему двумя способами

$$\{\begin{array}{l}3x-4y=10\\ 5x+2y=8\end{array}$$

Методом подстановки:
Из первого: $3x=10+4y$ → $x=\frac{10+4y}{3}$
Подставляем: $5\cdot \frac{10+4y}{3}+2y=8$
$\frac{50+20y}{3}+2y=8$
Умножаем на 3: $50+20y+6y=24$
$50+26y=24$ → $26y=-26$ → $y=-1$
$x=\frac{10+4(-1)}{3}=\frac{6}{3}=2$
Ответ: $(2;-1)$

Методом сложения:
Умножим второе уравнение на 2: $10x+4y=16$
Сложим с первым: $(3x+10x)+(-4y+4y)=10+16$
$13x=26$ → $x=2$
Подставим: $3\cdot 2-4y=10$ → $6-4y=10$ → $-4y=4$ → $y=-1$
Ответ: $(2;-1)$

Оба метода дают одинаковый результат, но метод сложения в данном случае оказался проще.

5. Особые приёмы и хитрости

Приём 1: Исключение свободного члена

Иногда удобно складывать уравнения так, чтобы исключить свободный член, а не переменную.

Пример 7:

$$\{\begin{array}{l}2x-3y=5\\ 4x+y=3\end{array}$$

Если сложить уравнения, получим $6x-2y=8$ — не проще. Но если из второго вычесть удвоенное первое:
$(4x+y)-2(2x-3y)=3-10$
$4x+y-4x+6y=-7$
$7y=-7$ → $y=-1$
И сразу нашли $y$!

Приём 2: Комбинирование методов

Можно начать методом сложения, найти одну переменную, а вторую найти подстановкой (как мы и делали). Это стандартный подход.

Приём 3: Если коэффициенты — дроби

Сначала избавляемся от дробей, умножая уравнения на общий знаменатель.

Пример 8:

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2\\ \frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1\end{array}$$

Умножаем первое на 6: $3x+2y=12$
Умножаем второе на 6: $2x-3y=6$
Теперь решаем методом сложения.

6. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Неправильный выбор знака при сложении/вычитании: путают, когда складывать, а когда вычитать.

2. Ошибки при умножении уравнений: забывают умножить обе части уравнения, а не только левую.

3. Потеря знака "минус": при умножении на отрицательное число забывают поменять знаки всех членов.

4. Арифметические ошибки: особенно при работе с отрицательными числами и дробями.

5. Неправильная интерпретация особых случаев: думают, что тождество означает "нет решений", а противоречие — "бесконечно много".

Полезные советы:

1. Всегда записывайте, на какое число и зачем вы умножаете уравнение.

2. Перед сложением убедитесь, что коэффициенты при выбранной переменной действительно стали противоположными.

3. После нахождения одной переменной обязательно подставляйте её в одно из исходных уравнений (не в преобразованное).

4. Для проверки подставьте найденное решение во второе уравнение системы.

5. Если получили $0=0$ — бесконечно много решений, если $0=k$ ($k\mathrm{\ne }0$) — решений нет.

7. Итоги урока

Главные выводы:

1. Метод алгебраического сложения основан на свойстве почленного сложения (вычитания) верных равенств.

2. Алгоритм метода: уравнять коэффициенты при одной переменной → сложить или вычесть уравнения → решить полученное линейное уравнение → найти вторую переменную.

3. Возможны три случая:

   • Единственное решение (получили $kx=m$, $k\mathrm{\ne }0$)

   • Бесконечно много решений (получили тождество $0=0$)

   • Нет решений (получили противоречие $0=m$, $m\mathrm{\ne }0$)

4. Метод сложения особенно эффективен, когда коэффициенты при переменных легко сделать противоположными.

Блок-схема метода:

Начало
    ↓
Привести уравнения к виду ax + by = c
    ↓
Выбрать переменную для исключения
    ↓
Умножить уравнения на числа, чтобы коэффициенты при этой переменной стали противоположными
    ↓
Сложить (или вычесть) уравнения почленно
    ↓
Получено уравнение с одной переменной
    ↓
Решить линейное уравнение → найти первую переменную
    ↓
Подставить в любое исходное уравнение → найти вторую переменную
    ↓
Записать ответ (или указать особый случай)
    ↓
Конец