Текст учебника. Урок 9. Сумма первых n членов арифметической прогрессии.

1. Актуализация знаний

Повторение основных понятий

Вопросы для повторения:

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. Как задаётся арифметическая прогрессия рекуррентно?

3. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

4. Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Пример 1: Дана арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, 19, ...
Найдите:

• $a_1=3$

• $d=4$

• $a_{10}=3+9\cdot 4=39$

2. Историческая справка: метод Гаусса

Существует знаменитая история о том, как маленький Карл Фридрих Гаусс, будучи учеником начальной школы, удивил своего учителя. Учитель дал задание: сложить все числа от 1 до 100, чтобы занять детей надолго. Но через несколько минут юный Гаусс выдал ответ: 5050.

Как он это сделал? Он заметил закономерность:

• $1+100=101$

• $2+99=101$

• $3+98=101$

• ...

• $50+51=101$

Всего таких пар 50, и каждая даёт сумму 101. Значит, общая сумма: $50\cdot 101=5050$.

Этот метод лежит в основе вывода формулы суммы арифметической прогрессии.

3. Вывод формулы суммы через первый и последний члены

3.1. Идея метода

Рассмотрим арифметическую прогрессию: $a_1,a_2,a_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},a_n$.

Запишем сумму первых $n$ членов двумя способами: в прямом и обратном порядке.

Прямой порядок:
$S_n=a_1+a_2+a_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_{n-1}+a_n$

Обратный порядок:
$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_2+a_1$

3.2. Сложение

Сложим эти два равенства почленно:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+(a_n+a_1)$

Ключевое наблюдение: В арифметической прогрессии сумма любого члена и симметричного ему относительно центра равна $a_1+a_n$.

Докажем это:

• $a_2+a_{n-1}=(a_1+d)+(a_n-d)=a_1+a_n$

• $a_3+a_{n-2}=(a_1+2d)+(a_n-2d)=a_1+a_n$

Таким образом, каждая из $n$ пар даёт одну и ту же сумму $a_1+a_n$.

3.3. Получение формулы

Имеем $n$ одинаковых сумм:
$2S_n=n\cdot (a_1+a_n)$

Отсюда получаем первую формулу:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Или в другом виде:

$$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$$

Словесная формулировка: Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы первого и последнего членов на количество членов.

4. Вывод второй формулы суммы

4.1. Замена последнего члена

В первой формуле используется $a_n$. Но часто мы знаем не последний член, а разность прогрессии $d$. Вспомним формулу n-го члена:
$a_n=a_1+(n-1)d$

Подставим это выражение в первую формулу:

$$S_n=\frac{a_1+[a_1+(n-1)d]}{2}\cdot n$$

4.2. Упрощение

Раскрываем скобки в числителе:
$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Получаем вторую формулу:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$

Или:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$

4.3. Доказательство равенства формул

Мы только что показали, что вторая формула получена из первой подстановкой $a_n=a_1+(n-1)d$. Следовательно, они тождественно равны и дают один и тот же результат.

Можно также проверить для конкретного примера.

5. Применение формул

5.1. Когда какую формулу использовать?

5.2. Пример 2: Нахождение суммы по первому и последнему членам

Дана арифметическая прогрессия: 5, 9, 13, 17, 21, 25. Найти сумму всех членов.

Решение:

• $a_1=5$

• $a_6=25$ (последний, так как всего 6 членов)

• $n=6$

По первой формуле:
$S_6=\frac{5+25}{2}\cdot 6=\frac{30}{2}\cdot 6=15\cdot 6=90$

Проверка сложением: $5+9+13+17+21+25=90$ ✓

Ответ: 90

5.3. Пример 3: Нахождение суммы по первому члену и разности

Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если $a_1=7$, $d=3$.

Решение:
По второй формуле:
$S_{20}=\frac{2\cdot 7+3(20-1)}{2}\cdot 20=\frac{14+3\cdot 19}{2}\cdot 20=\frac{14+57}{2}\cdot 20=\frac{71}{2}\cdot 20=71\cdot 10=710$

Ответ: 710

5.4. Пример 4: Нахождение суммы натуральных чисел от 1 до n

Найти сумму первых 100 натуральных чисел.

Решение:
Это арифметическая прогрессия: $1,2,3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},100$

• $a_1=1$

• $a_n=100$

• $n=100$

По первой формуле:
$S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot 100=\frac{101}{2}\cdot 100=101\cdot 50=5050$

Ответ: 5050 (как у Гаусса)

5.5. Пример 5: Нахождение суммы нечётных чисел

Найти сумму первых 50 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, ...

Решение:
Это арифметическая прогрессия с $a_1=1$, $d=2$

• $n=50$

• $a_{50}=1+49\cdot 2=99$

По первой формуле:
$S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot 50=\frac{100}{2}\cdot 50=50\cdot 50=2500$

Ответ: 2500

6. Решение задач с использованием формул суммы

6.1. Задачи на нахождение n

Пример 6: В арифметической прогрессии $a_1=3$, $d=4$. Сумма первых n членов равна 210. Найти n.

Решение:
Используем вторую формулу:
$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=210$

Подставляем:
$\frac{2\cdot 3+4(n-1)}{2}\cdot n=210$
$\frac{6+4n-4}{2}\cdot n=210$
$\frac{4n+2}{2}\cdot n=210$
$(2n+1)\cdot n=210$
$2n^2+n-210=0$

Решаем квадратное уравнение:
$D=1+4\cdot 2\cdot 210=1+1680=1681$
$\sqrt{D}=41$
$n=\frac{-1\pm 41}{4}$

$n_1=\frac{-1+41}{4}=\frac{40}{4}=10$
$n_2=\frac{-1-41}{4}=\frac{-42}{4}=-10.5$ — не подходит (n должно быть натуральным)

Ответ: $n=10$

6.2. Задачи на нахождение a₁ и d

Пример 7: В арифметической прогрессии сумма первых 5 членов равна 40, а сумма первых 10 членов равна 155. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение:
Запишем формулы для $S_5$ и $S_{10}$:

$S_5=\frac{2a_1+d(5-1)}{2}\cdot 5=\frac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=(a_1+2d)\cdot 5=5a_1+10d=40$

$S_{10}=\frac{2a_1+d(10-1)}{2}\cdot 10=\frac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=(2a_1+9d)\cdot 5=10a_1+45d=155$

Получили систему:

$$\{\begin{array}{l}5a_1+10d=40\\ 10a_1+45d=155\end{array}$$

Разделим первое уравнение на 5: $a_1+2d=8$ → $a_1=8-2d$

Подставим во второе:
$10(8-2d)+45d=155$
$80-20d+45d=155$
$80+25d=155$
$25d=75$
$d=3$

Тогда $a_1=8-2\cdot 3=8-6=2$

Ответ: $a_1=2$, $d=3$

6.3. Задачи на нахождение суммы с неизвестным номером члена

Пример 8: Сколько членов арифметической прогрессии 5, 8, 11, ... нужно взять, чтобы их сумма равнялась 610?

Решение:

• $a_1=5$

• $d=3$

• $S_n=610$

По второй формуле:
$\frac{2\cdot 5+3(n-1)}{2}\cdot n=610$
$\frac{10+3n-3}{2}\cdot n=610$
$\frac{3n+7}{2}\cdot n=610$
$n(3n+7)=1220$
$3n^2+7n-1220=0$

$D=49+4\cdot 3\cdot 1220=49+14640=14689$
$\sqrt{D}=121$ (проверим: ${121}^2=14641$, нет — ошибка! ${121}^2=14641$, а у нас 14689. Значит, не 121.)

Найдём точнее: $\sqrt{14689}\approx 121.2$. Но нам нужен целый корень. Проверим разложение: $14689=37\cdot 397$ — не полный квадрат.

Решим через дискриминант:
$n=\frac{-7\pm \sqrt{14689}}{6}$

Нас интересует положительный корень. Но, возможно, в условии опечатка? Или нужно оставить в таком виде.

Для учебных целей допустим, что корень целый. Проверим $n=20$: $3\cdot 400+140=1200+140=1340>1220$
$n=19$: $3\cdot 361+133=1083+133=1216<1220$
$n=20$ даёт 1340, значит, между 19 и 20 нет целого решения. Следовательно, сумма 610 не достигается при целом n.

Вывод: Не всегда задача имеет решение в натуральных числах.

7. Практические задачи

7.1. Задача о строительстве

Пример 9: При хранении брёвен строевого леса их укладывают так, что каждый верхний ряд содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. В нижнем ряду находится 20 брёвен, а в верхнем — 5. Сколько брёвен уложено?

Решение:
Количество брёвен в рядах образует арифметическую прогрессию:

• $a_1=5$ (верхний ряд, если считать сверху, или $a_1=20$, если считать снизу — договоримся считать снизу)
  Удобнее: нижний ряд — первый, тогда $a_1=20$, $d=-1$, последний ряд $a_n=5$

Найдём n:
$a_n=a_1+(n-1)d$
$5=20+(n-1)(-1)$
$5=20-n+1$
$5=21-n$
$n=16$

Теперь сумма:
$S_{16}=\frac{a_1+a_{16}}{2}\cdot 16=\frac{20+5}{2}\cdot 16=\frac{25}{2}\cdot 16=25\cdot 8=200$

Ответ: 200 брёвен

7.2. Задача о часах

Пример 10: Часы с боем отбивают каждый час столько ударов, сколько часов показывают (от 1 до 12). Сколько ударов они отбивают за сутки?

Решение:
За 12 часов: $1+2+3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+12$ — арифметическая прогрессия.
$S_{12}=\frac{1+12}{2}\cdot 12=\frac{13}{2}\cdot 12=13\cdot 6=78$ ударов за 12 часов.

За сутки (24 часа) цикл повторяется дважды:
$S=2\cdot 78=156$ ударов.

Ответ: 156 ударов

7.3. Задача о спортсмене

Пример 11: Спортсмен в первый день пробежал 5 км, а в каждый следующий день увеличивал норму на 0,5 км. Сколько километров он пробежит за 30 дней?

Решение:
Арифметическая прогрессия: $a_1=5$, $d=0,5$, $n=30$
$S_{30}=\frac{2\cdot 5+0,5(30-1)}{2}\cdot 30=\frac{10+0,5\cdot 29}{2}\cdot 30=\frac{10+14,5}{2}\cdot 30=\frac{24,5}{2}\cdot 30=12,25\cdot 30=367,5$

Ответ: 367,5 км

8. Доказательство равенства формул (строгое)

Ранее мы показали, что вторая формула получается из первой подстановкой. Теперь докажем, что обе формулы эквивалентны.

Дано: $a_n=a_1+(n-1)d$

Требуется доказать: $\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Доказательство:
Левая часть: $\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+[a_1+(n-1)d]}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Правая часть: $\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$ — то же самое.

Таким образом, левая и правая части тождественно равны.

9. Таблица основных формул

10. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Неправильное определение n: путают количество членов с номером последнего члена.

2. Ошибки в подстановке в формулу: забывают умножать на n/2, а не на n.

3. Неправильное использование d: подставляют d вместо a₁ или наоборот.

4. Арифметические ошибки при работе с дробями.

5. Неверное составление уравнения при нахождении n.

Полезные советы:

1. Всегда проверяйте, что вы правильно определили a₁, aₙ и n.

2. Для проверки можно вычислить сумму нескольких первых членов прямым сложением.

3. При решении квадратного уравнения отбрасывайте отрицательные корни (n > 0).

4. Помните, что n должно быть натуральным числом.

11. Итоги урока

Главные выводы:

1. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ (метод Гаусса).

2. Если известна разность, используют формулу $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$.

3. Обе формулы равносильны и связаны через выражение для n-го члена.

4. Формулы суммы широко применяются в практических задачах.

Домашнее задание:

1. Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии:
   а) 4, 7, 10, 13, ...
   б) -2, -5, -8, -11, ...

2. В арифметической прогрессии $a_1=3$, $d=2$. Найдите $S_{15}$.

3. Найдите сумму всех чётных чисел от 2 до 100 включительно.

4. В арифметической прогрессии сумма первых 8 членов равна 120, а сумма первых 12 членов равна 240. Найдите $a_1$ и $d$.

5. Дополнительно: Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии 6, 10, 14, ... чтобы их сумма равнялась 270?