Текст учебника. Урок 10. Геометрическая прогрессия: определение, формула n-го член.

1. Введение: от арифметической к геометрической прогрессии

На прошлых уроках мы изучали арифметическую прогрессию, где каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа (разности). В жизни часто встречаются процессы, где величина изменяется не на постоянное число, а в постоянное число раз.

Примеры:

• Рост вклада в банке под проценты (каждый год сумма умножается на 1 + процентная ставка)

• Деление клеток (каждое деление количество клеток удваивается)

• Радиоактивный распад (количество вещества уменьшается в одно и то же число раз за период полураспада)

Во всех этих примерах мы имеем дело с геометрической прогрессией.

2. Определение геометрической прогрессии

2.1. Основное определение

Определение: Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

Обозначение: Обычно геометрическую прогрессию обозначают $b_1,b_2,b_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},b_n,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

Рекуррентная формула:

$$b_{n+1}=b_n\cdot q$$

где:

• $b_n$ — n-й член прогрессии

• $q$ — знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число, $q\mathrm{\ne }0$)

2.2. Почему $q\mathrm{\ne }0$?

Если $q=0$, то начиная со второго члена все члены будут равны 0, что вырождает прогрессию и делает её неинтересной для изучения. Кроме того, многие свойства при $q=0$ теряют смысл (например, характеристическое свойство).

2.3. Примеры геометрических прогрессий

Пример 1 (возрастающая): 2, 6, 18, 54, 162, ...

• $b_1=2$

• $q=3$ (каждый следующий в 3 раза больше предыдущего)

Пример 2 (убывающая): 81, 27, 9, 3, 1, $\frac{1}{3}$, ...

• $b_1=81$

• $q=\frac{1}{3}$ (каждый следующий в 3 раза меньше предыдущего)

Пример 3 (знакочередующаяся): 5, -10, 20, -40, 80, ...

• $b_1=5$

• $q=-2$ (каждый следующий умножается на -2, знак чередуется)

Пример 4 (постоянная): 7, 7, 7, 7, 7, ...

• $b_1=7$

• $q=1$ (частный случай)

3. Вывод формулы n-го члена

3.1. От рекуррентной формулы к аналитической

Используя рекуррентное соотношение $b_{n+1}=b_n\cdot q$, выразим несколько членов через первый и знаменатель:

• $b_1=b_1$

• $b_2=b_1\cdot q$

• $b_3=b_2\cdot q=(b_1\cdot q)\cdot q=b_1\cdot q^2$

• $b_4=b_3\cdot q=(b_1\cdot q^2)\cdot q=b_1\cdot q^3$

• $b_5=b_4\cdot q=(b_1\cdot q^3)\cdot q=b_1\cdot q^4$

Замечаем закономерность: показатель степени при $q$ на 1 меньше номера члена.

3.2. Общая формула

Таким образом, получаем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

где:

• $b_n$ — n-й член прогрессии

• $b_1$ — первый член

• $q$ — знаменатель прогрессии

• $n$ — номер члена (натуральное число)

3.3. Проверка формулы

Для $n=1$: $b_1=b_1\cdot q^0=b_1\cdot 1=b_1$ — верно.
Для $n=2$: $b_2=b_1\cdot q^1=b_1\cdot q$ — соответствует определению.

3.4. Примеры применения

Пример 5: Дана геометрическая прогрессия: 3, 6, 12, 24, ... Найти $b_7$.

Решение:

• $b_1=3$

• $q=6:3=2$

• По формуле: $b_7=3\cdot 2^{7-1}=3\cdot 2^6=3\cdot 64=192$

Ответ: 192

Пример 6: В геометрической прогрессии $b_1=5$, $q=3$. Найти $b_6$.

Решение:
$b_6=5\cdot 3^{6-1}=5\cdot 3^5=5\cdot 243=1215$

Ответ: 1215

Пример 7: Найти знаменатель геометрической прогрессии, если $b_1=2$, $b_5=32$.

Решение:
$32=2\cdot q^{5-1}=2\cdot q^4$
$q^4=16$
$q=\pm 2$ (так как $q^4=16$ имеет два действительных корня: 2 и -2)

Ответ: $q=2$ или $q=-2$

Пример 8: Найти первый член геометрической прогрессии, если $q=\frac{1}{2}$, $b_7=\frac{5}{64}$.

Решение:
$\frac{5}{64}=b_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^6=b_1\cdot \frac{1}{64}$
$b_1=\frac{5}{64}\cdot 64=5$

Ответ: 5

4. Характеристическое свойство геометрической прогрессии

4.1. Формулировка свойства

Как и у арифметической прогрессии, у геометрической есть своё характеристическое свойство, которое полностью определяет этот тип последовательности.

Теорема (характеристическое свойство): Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего).

В математической форме:

$$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\text{для }n\ge 2$$

4.2. Доказательство

Дано: $\{b_n\}$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.
То есть: $b_n=b_{n-1}\cdot q$ и $b_{n+1}=b_n\cdot q$.

Доказать: $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$.

Доказательство:

Рассмотрим произведение двух соседних с $b_n$ членов:

• Предыдущий член: $b_{n-1}$

• Последующий член: $b_{n+1}$

Выразим $b_{n+1}$ через $b_n$ и $q$:
$b_{n+1}=b_n\cdot q$

Выразим $b_{n-1}$ через $b_n$ и $q$:
Из $b_n=b_{n-1}\cdot q$ получаем $b_{n-1}=\frac{b_n}{q}$ (при $q\mathrm{\ne }0$)

Теперь найдём произведение:
$b_{n-1}\cdot b_{n+1}=\frac{b_n}{q}\cdot (b_n\cdot q)=b_n^2$

Таким образом, $b_{n-1}\cdot b_{n+1}=b_n^2$, что и требовалось доказать.

4.3. Обратное утверждение

Как и в случае с арифметической прогрессией, характеристическое свойство является не только следствием, но и признаком геометрической прогрессии: если для всех членов последовательности (начиная со второго) выполняется условие $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$, то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

5. Применение характеристического свойства

5.1. Нахождение неизвестного члена

Пример 9: В геометрической прогрессии известны члены: $b_4=6$ и $b_6=24$. Найти $b_5$.

Решение:
По характеристическому свойству для $n=5$:
$b_5^2=b_4\cdot b_6=6\cdot 24=144$
$b_5=\pm 12$ (оба значения возможны, если прогрессия знакочередующаяся)

Ответ: $b_5=12$ или $b_5=-12$

Пример 10: В геометрической прогрессии $b_2=4$, $b_4=16$. Найти $b_3$.

Решение:
$b_3^2=b_2\cdot b_4=4\cdot 16=64$
$b_3=\pm 8$

Ответ: $\pm 8$

5.2. Проверка, является ли последовательность геометрической прогрессией

Пример 11: Является ли последовательность 2, 6, 18, 54, 108, ... геометрической прогрессией?

Решение:
Проверим характеристическое свойство для нескольких членов:

• Для $n=2$: $b_2^2=6^2=36$, $b_1\cdot b_3=2\cdot 18=36$ ✓

• Для $n=3$: $b_3^2={18}^2=324$, $b_2\cdot b_4=6\cdot 54=324$ ✓

• Для $n=4$: $b_4^2={54}^2=2916$, $b_3\cdot b_5=18\cdot 108=1944$ ✗ (не равно)

Следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией (нарушение на четвёртом члене).

Пример 12: При каком значении $x$ числа $x,2x+1,5x+2$ образуют геометрическую прогрессию?

Решение:
Для геометрической прогрессии должно выполняться характеристическое свойство для среднего члена:
$(2x+1{)}^2=x\cdot (5x+2)$

Раскрываем скобки:
$4x^2+4x+1=5x^2+2x$
$0=5x^2+2x-4x^2-4x-1$
$0=x^2-2x-1$
$x^2-2x-1=0$

$D=4+4=8$
$x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$

Ответ: $x=1+\sqrt{2}$ или $x=1-\sqrt{2}$

6. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

6.1. Логарифмическая связь

Интересный факт: если взять логарифмы членов геометрической прогрессии (с положительными членами), то получится арифметическая прогрессия.

Пример 13: Для прогрессии 2, 4, 8, 16, 32, ... ($q=2$)
Возьмём ${\log }_2$ от каждого члена: 1, 2, 3, 4, 5, ... — это арифметическая прогрессия с $d=1$.

6.2. Показательная функция

Геометрическая прогрессия задаёт значения показательной функции в целых точках: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ — это показательная функция от $n$.

7. Решение более сложных задач

7.1. Задачи с системами уравнений

Пример 14: Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 20, а сумма второго и четвёртого равна 40. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение:
Пусть $b_1=b$, $q$ — знаменатель.
Тогда:

• $b_1=b$

• $b_2=bq$

• $b_3=b{q}^2$

• $b_4=b{q}^3$

Составляем систему:

$$\{\begin{array}{l}b+b{q}^2=20\\ bq+b{q}^3=40\end{array}$$

Вынесем общие множители:

$$\{\begin{array}{l}b(1+q^2)=20\\ bq(1+q^2)=40\end{array}$$

Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{bq(1+q^2)}{b(1+q^2)}=\frac{40}{20}$
$q=2$

Подставим $q=2$ в первое уравнение:
$b(1+4)=20$
$5b=20$
$b=4$

Ответ: $b_1=4$, $q=2$

7.2. Задачи на нахождение номера члена

Пример 15: В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Под каким номером стоит число 384?

Решение:
$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}=384$
$2^{n-1}=128$
$2^{n-1}=2^7$
$n-1=7$
$n=8$

Ответ: 8-й член

7.3. Задачи с геометрическим смыслом

Пример 16: Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то получится арифметическая прогрессия. Найти эти числа, если их сумма равна 14.

Решение:
Пусть числа: $a,aq,a{q}^2$.
Сумма: $a+aq+a{q}^2=14$ ... (1)

После увеличения второго на 2: $a,aq+2,a{q}^2$ — арифметическая прогрессия.
По свойству арифметической прогрессии: $2(aq+2)=a+a{q}^2$ ... (2)

Из (2): $2aq+4=a+a{q}^2$
$2aq-a-a{q}^2+4=0$
$a(2q-1-q^2)+4=0$
$a(q^2-2q+1)=4$
$a(q-1{)}^2=4$ ... (3)

Из (1): $a(1+q+q^2)=14$ ... (4)

Разделим (4) на (3):
$\frac{1+q+q^2}{(q-1{)}^2}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$

$2(1+q+q^2)=7(q-1{)}^2$
$2+2q+2q^2=7(q^2-2q+1)$
$2+2q+2q^2=7q^2-14q+7$
$0=7q^2-14q+7-2-2q-2q^2$
$0=5q^2-16q+5$

$D=256-100=156=4\cdot 39$
$\sqrt{D}=2\sqrt{39}$
$q=\frac{16\pm 2\sqrt{39}}{10}=\frac{8\pm \sqrt{39}}{5}$

Из (3): $a=\frac{4}{(q-1{)}^2}$

Для $q_1=\frac{8+\sqrt{39}}{5}$: $q-1=\frac{8+\sqrt{39}-5}{5}=\frac{3+\sqrt{39}}{5}$
$(q-1{)}^2=\frac{(3+\sqrt{39}{)}^2}{25}=\frac{9+6\sqrt{39}+39}{25}=\frac{48+6\sqrt{39}}{25}=\frac{6(8+\sqrt{39})}{25}$
$a=\frac{4\cdot 25}{6(8+\sqrt{39})}=\frac{100}{6(8+\sqrt{39})}=\frac{50}{3(8+\sqrt{39})}$

Аналогично для второго корня.

Это довольно громоздкое решение, но оно показывает, как работают оба свойства.

8. Сравнение арифметической и геометрической прогрессий

9. Таблица основных формул

10. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Путаница с показателем степени: пишут $b_n=b_1\cdot q^n$ вместо $q^{n-1}$.

2. Неверное нахождение знаменателя: делят не в том порядке.

3. Забывают про два знака при извлечении корня в характеристическом свойстве.

4. Не проверяют условие $q\mathrm{\ne }0$ в задачах.

5. Ошибки при работе с отрицательным $q$ (знакочередующиеся прогрессии).

Полезные советы:

1. Всегда проверяйте формулу для $n=1$: должно получаться $b_1$.

2. При нахождении $q$ используйте отношение любых двух последовательных членов.

3. В характеристическом свойстве помните про ± при извлечении корня.

4. Для проверки вычислите несколько членов по формуле и сравните с данными.

11. Итоги урока

Главные выводы:

1. Геометрическая прогрессия — это последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q\mathrm{\ne }0$.

2. Формула n-го члена: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$.

3. Характеристическое свойство: $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ (каждый член есть среднее геометрическое соседних).

4. Это свойство является необходимым и достаточным признаком геометрической прогрессии.

5. Геометрическая прогрессия описывает процессы с постоянным относительным изменением.

Домашнее задание:

1. Найдите 8-й член геометрической прогрессии:
   а) 2, 6, 18, 54, ...
   б) 64, 32, 16, 8, ...
   в) 5, -10, 20, -40, ...

2. В геометрической прогрессии $b_1=4$, $q=3$. Найдите $b_6$.

3. Известны члены геометрической прогрессии: $b_3=12$, $b_5=48$. Найдите $b_4$ и $b_1$.

4. Проверьте, являются ли данные последовательности геометрическими прогрессиями:
   а) 1, 2, 4, 8, 16, ...
   б) 3, 6, 12, 24, 48, ...
   в) 1, 4, 9, 16, 25, ...

5. Дополнительно: Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, если сумма крайних равна 27, а сумма средних равна 18.