Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

1. Актуализация знаний

Повторение основных понятий

Вопросы для повторения:

1. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

2. Как задаётся геометрическая прогрессия рекуррентно?

3. Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

4. Сформулируйте характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Пример 1: Дана геометрическая прогрессия: 2, 6, 18, 54, 162, ...
Найдите:

• $b_1=2$

• $q=3$

• $b_7=2\cdot 3^6=2\cdot 729=1458$

2. Постановка задачи

Часто требуется найти сумму нескольких первых членов геометрической прогрессии. Например:

• Сколько зерен оказалось на шахматной доске в известной легенде об изобретателе шахмат?

• Какова сумма вклада в банке через несколько лет с учётом процентов?

• Какова общая численность популяции за несколько циклов размножения?

Для ответа на эти вопросы нам нужна формула суммы.

3. Вывод формулы суммы для случая q ≠ 1

3.1. Идея метода

Рассмотрим геометрическую прогрессию: $b_1,b_2,b_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},b_n$, где $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$.

Обозначим сумму первых $n$ членов:

$$S_n=b_1+b_2+b_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_{n-1}+b_n$$

Запишем эту сумму в развёрнутом виде через первый член и знаменатель:

$$S_n=b_1+b_{1}q+b_1{q}^2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^{n-2}+b_1{q}^{n-1}$$

3.2. Умножение на q

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:

$$q{S}_n=b_{1}q+b_1{q}^2+b_1{q}^3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^{n-1}+b_1{q}^n$$

3.3. Вычитание

Вычтем из второго равенства первое:

$$q{S}_n-S_n=(b_{1}q+b_1{q}^2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^n)-(b_1+b_{1}q+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^{n-1})$$

В правой части почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются:

• из первой скобки: $b_1{q}^n$

• из второй скобки: $-b_1$

Таким образом:

$$(q-1)S_n=b_1{q}^n-b_1=b_1(q^n-1)$$

3.4. Получение формулы

Если $q\mathrm{\ne }1$, то можно разделить обе части на $(q-1)$:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Это первая форма записи формулы суммы.

3.5. Альтернативная форма

Умножив числитель и знаменатель на -1, можно получить другую, иногда более удобную форму:

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$

Обе формулы равносильны. Выбор зависит от того, какое выражение удобнее: если $q>1$, удобнее первая, если $0<q<1$ — вторая.

4. Анализ случая q = 1

4.1. Особый случай

Если $q=1$, то прогрессия имеет вид:
$b_1,b_1,b_1,b_1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ — все члены равны первому.

В этом случае формула, выведенная выше, неприменима, так как знаменатель $(q-1)$ обращается в ноль.

4.2. Формула для q = 1

Очевидно, что сумма первых $n$ членов такой прогрессии равна:

$$S_n=b_1+b_1+b_1+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1=n\cdot b_1$$

4.3. Объединение случаев

Таким образом, общая формула записывается в виде:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}},& \text{если }q\mathrm{\ne }1\\ n\cdot b_1,& \text{если }q=1\end{array}$$

5. Примеры применения формулы

5.1. Пример 2: Нахождение суммы (q > 1)

Найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии: 3, 6, 12, 24, ...

Решение:

• $b_1=3$

• $q=6:3=2$

• $n=6$

• $q\mathrm{\ne }1$, применяем формулу:

$S_6=\frac{3(2^6-1)}{2-1}=\frac{3(64-1)}{1}=3\cdot 63=189$

Проверка сложением: $3+6+12+24+48+96=189$ ✓

Ответ: 189

5.2. Пример 3: Нахождение суммы (0 < q < 1)

Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 16, 8, 4, 2, 1, ...

Решение:

• $b_1=16$

• $q=8:16=\frac{1}{2}$

• $n=5$

• Удобнее использовать формулу $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_5=\frac{16(1-(\frac{1}{2}{)}^5)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{16(1-\frac{1}{32})}{\frac{1}{2}}=\frac{16\cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{16\cdot 31}{32}\cdot 2=\frac{496}{32}=15.5$

Проверка: $16+8+4+2+1=31$? Ой! Ошибка: 16 + 8 = 24, +4 = 28, +2 = 30, +1 = 31. А у нас получилось 15.5 — явно неверно. Где ошибка?

Проверим вычисления:
$16(1-\frac{1}{32})=16\cdot \frac{31}{32}=\frac{496}{32}=15.5$
Делим на $\frac{1}{2}$ — это умножение на 2: $15.5\cdot 2=31$

Да, 31 — правильный ответ. Я ошибся в промежуточном результате, написав 15.5 вместо 31.

Ответ: 31

5.3. Пример 4: Нахождение суммы (q < 0, знакочередующаяся)

Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 2, -6, 18, -54, 162, ...

Решение:

• $b_1=2$

• $q=-3$

• $n=5$

• Применяем формулу:

$S_5=\frac{2((-3{)}^5-1)}{-3-1}=\frac{2(-243-1)}{-4}=\frac{2\cdot (-244)}{-4}=\frac{-488}{-4}=122$

Проверка: $2+(-6)+18+(-54)+162=(2-6)=-4,-4+18=14,14-54=-40,-40+162=122$ ✓

Ответ: 122

5.4. Пример 5: Случай q = 1

Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии: 7, 7, 7, 7, ...

Решение:
$q=1$, значит $S_{10}=10\cdot 7=70$

Ответ: 70

6. Задачи на нахождение n

6.1. Пример 6: Нахождение количества членов

В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Сумма первых n членов равна 189. Найти n.

Решение:
$S_n=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1)=189$
$2^n-1=63$
$2^n=64$
$2^n=2^6$
$n=6$

Ответ: 6

6.2. Пример 7: Нахождение n с квадратным уравнением

В геометрической прогрессии $b_1=2$, $q=3$. Сумма первых n членов равна 242. Найти n.

Решение:
$S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=\frac{2(3^n-1)}{2}=3^n-1=242$
$3^n=243$
$3^n=3^5$
$n=5$

Ответ: 5

6.3. Пример 8: Случай с дробным q

В геометрической прогрессии $b_1=8$, $q=\frac{1}{2}$. Сумма первых n членов равна $15\frac{3}{4}$. Найти n.

Решение:
$S_n=\frac{8(1-(\frac{1}{2}{)}^n)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8(1-2^{-n})}{\frac{1}{2}}=16(1-2^{-n})=15.75$

$1-2^{-n}=\frac{15.75}{16}=0.984375$
$2^{-n}=0.015625$
$2^{-n}=\frac{1}{64}=2^{-6}$
$n=6$

Ответ: 6

7. Практические задачи

7.1. Легенда о шахматной доске

Пример 9: По легенде, изобретатель шахмат попросил в награду за своё изобретение столько зёрен пшеницы, сколько получится, если на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 4, и так далее, удваивая количество на каждой следующей клетке. Сколько зёрен должно было быть на доске?

Решение:
Имеем геометрическую прогрессию: $b_1=1$, $q=2$, $n=64$ (количество клеток).

$S_{64}=\frac{1(2^{64}-1)}{2-1}=2^{64}-1$

$2^{64}=(2^{10}{)}^6\cdot 2^4\approx (1024{)}^6\cdot 16\approx 1.15\cdot {10}^{19}$ (точное значение: 18446744073709551615)

Это огромное число — около 18,5 квинтиллионов зёрен.

Ответ: $2^{64}-1$ зёрен

7.2. Задача о вкладе в банке

Пример 10: Вкладчик положил в банк 10000 рублей под 10% годовых. Какая сумма будет на счёте через 5 лет, если проценты начисляются в конце каждого года и прибавляются к вкладу?

Решение:
Каждый год сумма умножается на $1+0.1=1.1$.
Это геометрическая прогрессия с $b_1=10000$, $q=1.1$, $n=5$.
Нас интересует не сумма, а последний член? Нет, здесь нужно найти не сумму, а конечную сумму — это $b_5$.
Но если бы спрашивали общую сумму всех выплат? Уточним условие.

Обычно в таких задачах спрашивают итоговую сумму на счёте, то есть $b_5=10000\cdot {1.1}^4$? Нет, через год будет $b_2$, через 5 лет — $b_6$, если считать $b_1$ начальным вкладом.

Пусть $b_1=10000$ — начальный вклад.
Через 1 год: $b_2=10000\cdot 1.1$
Через 2 года: $b_3=10000\cdot {1.1}^2$
...
Через 5 лет: $b_6=10000\cdot {1.1}^5$

${1.1}^5=1.61051$
$b_6\approx 10000\cdot 1.61051=16105.1$ рублей

Ответ: ≈ 16105 рублей

7.3. Задача о популяции

Пример 11: Численность популяции бактерий каждый час увеличивается в 3 раза. Сколько бактерий будет через 6 часов, если первоначально было 100 бактерий?

Решение:
Геометрическая прогрессия: $b_1=100$, $q=3$
Через 6 часов — это $b_7=100\cdot 3^6=100\cdot 729=72900$

Ответ: 72900 бактерий

8. Задачи на нахождение b₁ и q

8.1. Пример 12: Известны Sₙ и Sₘ

Сумма первых 3 членов геометрической прогрессии равна 26, а сумма первых 5 членов равна 242. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение:
Запишем формулы:
$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}=26$
$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=242$

Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{S_5}{S_3}=\frac{q^5-1}{q^3-1}=\frac{242}{26}=\frac{121}{13}$

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$q^5-1=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$
$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$

Сокращаем $(q-1)$:
$\frac{q^4+q^3+q^2+q+1}{q^2+q+1}=\frac{121}{13}$

Умножим обе части на знаменатель:
$13(q^4+q^3+q^2+q+1)=121(q^2+q+1)$
$13q^4+13q^3+13q^2+13q+13=121q^2+121q+121$
$13q^4+13q^3+13q^2+13q+13-121q^2-121q-121=0$
$13q^4+13q^3-108q^2-108q-108=0$

Делим на 13:
$q^4+q^3-\frac{108}{13}{q}^2-\frac{108}{13}q-\frac{108}{13}=0$

Это уравнение сложно решить в общем виде. Заметим, что $q=3$ может быть корнем:
$81+27-\frac{108}{13}\cdot 9-\frac{108}{13}\cdot 3-\frac{108}{13}=108-\frac{108}{13}(9+3+1)=108-\frac{108}{13}\cdot 13=108-108=0$

Да, $q=3$ подходит. Тогда из $S_3=26$:
$\frac{b_1(27-1)}{2}=\frac{b_1\cdot 26}{2}=13b_1=26$ → $b_1=2$

Ответ: $b_1=2$, $q=3$

9. Доказательство формулы (строгое)

Для полноты приведём строгое доказательство методом математической индукции.

База индукции: при $n=1$ формула даёт $S_1=\frac{b_1(q-1)}{q-1}=b_1$ — верно.

Индукционный переход: предположим, что формула верна для $n=k$:
$S_k=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}$

Тогда $S_{k+1}=S_k+b_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}+b_1{q}^k$

Приведём к общему знаменателю:
$S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)+b_1{q}^k(q-1)}{q-1}=\frac{b_1(q^k-1+q^{k+1}-q^k)}{q-1}=\frac{b_1(q^{k+1}-1)}{q-1}$

Что и требовалось доказать.

10. Таблица основных формул

11. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Неправильное применение формулы при q = 1: пытаются использовать формулу с делением на ноль.

2. Ошибки в показателях степени: путают $q^n$ и $q^{n-1}$.

3. Неправильный выбор знака в формуле: забывают, что $q^n-1$ и $1-q^n$ дают разные знаки.

4. Арифметические ошибки при работе с отрицательным q.

5. Неверное определение n в задачах с "через сколько лет".

Полезные советы:

1. Всегда проверяйте, чему равен q, прежде чем применять формулу.

2. При q = 1 используйте простую формулу $S_n=n\cdot b_1$.

3. Для проверки вычислите сумму нескольких первых членов прямым сложением.

4. Помните, что при $0<q<1$ удобнее формула $\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

12. Итоги урока

Главные выводы:

1. Сумма первых n членов геометрической прогрессии при $q\mathrm{\ne }1$ вычисляется по формуле $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

2. При $q=1$ прогрессия становится постоянной, и $S_n=n\cdot b_1$.

3. Формула выводится методом умножения обеих частей на q и почленного вычитания.

4. Формула суммы широко применяется в финансовых, биологических и физических задачах.

Домашнее задание:

1. Найдите сумму первых 8 членов геометрической прогрессии:
   а) 2, 6, 18, 54, ...
   б) 64, 32, 16, 8, ...
   в) 5, -10, 20, -40, ...

2. В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Найдите $S_7$.

3. Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, если $b_3=12$, $b_5=48$.

4. Сколько нужно взять членов геометрической прогрессии 4, 8, 16, ... чтобы их сумма равнялась 252?

5. Дополнительно: В геометрической прогрессии сумма первых трёх членов равна 26, а сумма первых шести членов равна 728. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.