Текст урока. Урок 12. Понятие степени с рациональным показателем.

1. Обобщение понятия степени

1.1. Степень с натуральным показателем

Начиная с 7 класса, мы знакомы со степенью числа с натуральным показателем:

$$a^n=\underset{n\text{ раз}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot a}}$$

где $n\in \mathbb{N}$ (натуральное число).

Свойства степени с натуральным показателем:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

• $a^m:a^n=a^{m-n}$ (при $m>n$)

• $(a^m{)}^n=a^{mn}$

• $(ab{)}^n=a^n{b}^n$

• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

1.2. Расширение понятия степени

В математике постоянно происходит обобщение понятий. Мы начали с натуральных чисел, затем ввели ноль и отрицательные числа, дроби. Так же и со степенью: мы расширяем понятие, чтобы степень можно было возводить в любую степень.

Сегодня мы расширим понятие степени сначала на целые отрицательные числа, а затем на любые рациональные числа.

2. Степень с целым отрицательным показателем

2.1. Мотивация

Рассмотрим свойство деления степеней: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Оно было доказано для случая $m>n$. Но что, если $m<n$? Например, $\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}$. Чтобы формула работала для всех целых чисел, нужно определить, что такое $a^{-2}$.

2.2. Определение

Определение: Для любого числа $a\mathrm{\ne }0$ и натурального $n$:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Важное условие: $a\mathrm{\ne }0$, так как на ноль делить нельзя.

2.3. Примеры

Пример 1: Вычислить:

• $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

• $(-3{)}^{-2}=\frac{1}{(-3{)}^2}=\frac{1}{9}$

• $5^{-1}=\frac{1}{5}$

• ${10}^{-4}=\frac{1}{{10}^4}=0.0001$

Пример 2: Представить в виде степени с отрицательным показателем:

• $\frac{1}{7}=7^{-1}$

• $\frac{1}{25}=5^{-2}$ (так как $25=5^2$)

• $\frac{1}{81}=3^{-4}$ (так как $81=3^4$)

2.4. Особый случай: степень с нулевым показателем

Ранее мы определили, что $a^0=1$ для любого $a\mathrm{\ne }0$. Это определение также согласуется со свойством деления:
$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1$.

2.5. Пример 3: Упрощение выражений

Упростить: $\frac{a^{-3}\cdot a^5}{a^{-2}}$

Решение:
$\frac{a^{-3}\cdot a^5}{a^{-2}}=a^{-3+5-(-2)}=a^{-3+5+2}=a^4$

Ответ: $a^4$

3. Арифметический корень n-й степени

3.1. Определение арифметического корня

Прежде чем вводить степень с дробным показателем, необходимо вспомнить понятие корня.

Определение: Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $x$, n-я степень которого равна $a$:

$$\sqrt[n]{a}=x\iff x^n=a,x\ge 0,a\ge 0$$

Обозначение: $\sqrt[n]{a}$, где:

• $n$ — показатель корня (натуральное число, $n\ge 2$)

• $a$ — подкоренное выражение ($a\ge 0$)

3.2. Особые случаи

• При $n=2$ корень называется квадратным: $\sqrt{a}$

• При $n=3$ — кубическим: $\sqrt[3]{a}$

• $\sqrt[n]{0}=0$

• $\sqrt[n]{1}=1$

3.3. Пример 4: Вычисление корней

• $\sqrt[3]{8}=2$, так как $2^3=8$

• $\sqrt[4]{16}=2$, так как $2^4=16$

• $\sqrt[5]{32}=2$, так как $2^5=32$

• $\sqrt[3]{125}=5$, так как $5^3=125$

3.4. Свойства арифметических корней (без доказательства)

Для любых неотрицательных $a$ и $b$ и натуральных $n,k$ справедливы следующие свойства:

Свойство 1 (корень из произведения):

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$$

Пример 5: $\sqrt[3]{8\cdot 27}=\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6$

Свойство 2 (корень из частного):

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\mathrm{\ne }0$$

Пример 6: $\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}=1.2$

Свойство 3 (возведение корня в степень):

$$(\sqrt[n]{a}{)}^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Пример 7: $(\sqrt[3]{4}{)}^2=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}$

Свойство 4 (извлечение корня из корня):

$$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$$

Пример 8: $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2$

Свойство 5 (сокращение показателей):
Если $n$ и $m$ имеют общий множитель, то $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\mathrm{/}k]{a^{m\mathrm{/}k}}$ при $a\ge 0$

Пример 9: $\sqrt[6]{27}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt[2]{3}=\sqrt{3}$

4. Степень с рациональным показателем

4.1. Мотивация

Мы уже умеем возводить числа в целую степень (положительную, нулевую и отрицательную). Но что значит $2^{\frac{1}{2}}$ или $5^{\frac{2}{3}}$? Какой смысл вкладывать в такие выражения?

Мы хотим, чтобы для дробных показателей сохранялись все свойства степеней, в частности свойство $(a^m{)}^n=a^{mn}$.

4.2. Определение степени с рациональным показателем

Определение: Пусть $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$ (целое число), $n\in \mathbb{N}$ (натуральное число, $n\ge 2$). Тогда степень числа $a$ с рациональным показателем $\frac{m}{n}$ определяется как:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Условие: $a>0$ обязательно! Это связано с тем, что корни чётной степени из отрицательных чисел не определены в действительных числах.

4.3. Пояснение

В частности:

• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ (корень n-й степени)

• $a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^2}$ или $(\sqrt[3]{a}{)}^2$

• $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

4.4. Пример 10: Представление в виде корня

Записать в виде корня:

• $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

• $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$

• $7^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{7^3}}=\frac{1}{\sqrt[4]{343}}$

• $2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{2^5}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

4.5. Пример 11: Представление корня в виде степени

Записать в виде степени с рациональным показателем:

• $\sqrt{6}=6^{\frac{1}{2}}$

• $\sqrt[3]{10}={10}^{\frac{1}{3}}$

• $\sqrt[4]{5^3}=5^{\frac{3}{4}}$

• $\frac{1}{\sqrt[5]{8}}=8^{-\frac{1}{5}}$

4.6. Пример 12: Вычисление значений

Вычислить:

• $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$

• $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ (или $(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$)

• ${16}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{16}^3}=\sqrt[4]{4096}=8$ (или $(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=8$)

• ${32}^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{32}^3}}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

5. Свойства степеней с рациональным показателем

Для степеней с рациональным показателем сохраняются все свойства, которые были у степеней с целым показателем (при условии, что основания положительны).

5.1. Основные свойства

Для $a>0$, $b>0$ и любых рациональных $r,s$:

Свойство 1: $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$

Свойство 2: $a^r:a^s=a^{r-s}$

Свойство 3: $(a^r{)}^s=a^{rs}$

Свойство 4: $(ab{)}^r=a^r\cdot b^r$

Свойство 5: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$

5.2. Пример 13: Упрощение выражений

Упростить: $a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{6}}$

Решение:
$a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{6}}=a^{\frac{4}{6}+\frac{1}{6}}=a^{\frac{5}{6}}$

Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$

5.3. Пример 14: Деление степеней

Упростить: $\frac{b^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{2}}}$

Решение:
$b^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}=b^{\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}=b^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $b^{\frac{1}{4}}$

5.4. Пример 15: Возведение степени в степень

Упростить: $(x^{\frac{2}{3}}{)}^{\frac{3}{4}}$

Решение:
$x^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}}=x^{\frac{6}{12}}=x^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

5.5. Пример 16: Степень произведения

Упростить: $(16a^4{)}^{\frac{3}{4}}$

Решение:
$(16{)}^{\frac{3}{4}}\cdot (a^4{)}^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16}{)}^3\cdot a^{4\cdot \frac{3}{4}}=2^3\cdot a^3=8a^3$

Ответ: $8a^3$

6. Преобразование выражений со степенями

6.1. Пример 17: Комплексное выражение

Упростить: $\frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{1}{2}}}$

Решение:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}}\cdot \frac{b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}}=a^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}=a^{\frac{2}{6}-\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{4}{6}-\frac{3}{6}}=a^{\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{1}{6}}=(ab{)}^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $(ab{)}^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{ab}$

6.2. Пример 18: Вынесение множителя

Представить в виде степени: $\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt{a}$

Решение:
$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
$a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}}=a^{\frac{7}{6}}$

Ответ: $a^{\frac{7}{6}}$

6.3. Пример 19: Сравнение чисел

Сравнить: $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{3}}$

Решение:
Приведём к общему показателю:
$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$
$3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}$

Так как $9>8$, то $\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}$, значит $3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}$

7. Таблица основных определений и свойств

8. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Забывают про условие $a>0$ для степени с рациональным показателем.

2. Неправильно понимают отрицательный показатель: думают, что $a^{-n}=-a^n$.

3. Путают корни и степени: $\sqrt[n]{a^m}$ и $(\sqrt[n]{a}{)}^m$ — это одно и то же, но учащиеся часто ошибаются.

4. Ошибки при сложении дробей в показателях: неправильно приводят к общему знаменателю.

5. Неправильное применение свойств при отрицательных основаниях.

Полезные советы:

1. Всегда проверяйте знак основания перед применением свойств.

2. Помните, что $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, а не $-a^n$.

3. При работе с дробными показателями приводите их к общему знаменателю.

4. Используйте запись в виде корня для проверки.

9. Итоги урока

Главные выводы:

1. Степень с целым отрицательным показателем определяется как $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

2. Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа — это неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному выражению.

3. Степень с рациональным показателем $\frac{m}{n}$ определяется как $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ при условии $a>0$.

4. Все свойства степеней, известные для натуральных показателей, сохраняются и для рациональных показателей.

5. Это обобщение позволяет единообразно работать с различными выражениями.

Домашнее задание:

1. Вычислите:
   а) $3^{-2}$
   б) $(-2{)}^{-3}$
   в) ${16}^{\frac{3}{4}}$
   г) ${27}^{\frac{2}{3}}$
   д) ${32}^{-\frac{2}{5}}$

2. Представьте в виде степени с рациональным показателем:
   а) $\sqrt[3]{5^2}$
   б) $\sqrt[4]{7}$
   в) $\frac{1}{\sqrt[3]{8}}$
   г) $\sqrt{a}\cdot \sqrt[3]{a^2}$

3. Упростите:
   а) $x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{4}}$
   б) $\frac{y^{\frac{5}{6}}}{y^{\frac{1}{3}}}$
   в) $(z^{\frac{3}{4}}{)}^{\frac{2}{3}}$
   г) $(8a^6{)}^{\frac{2}{3}}$

4. Дополнительно: Сравните числа $4^{\frac{1}{3}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$.