Текст учебника. Урок 13. Степенная функция y = xⁿ (n∈N), её свойства и график.

1. Определение степенной функции

1.1. Понятие степенной функции

В курсе алгебры мы уже встречались с различными функциями: линейной, квадратичной, обратной пропорциональностью. Сегодня мы познакомимся с целым семейством функций — степенными функциями.

Определение: Степенной функцией с натуральным показателем называется функция вида:

$$y=x^n$$

где $n\in \mathbb{N}$ (натуральное число).

1.2. Примеры степенных функций

• $y=x^1=x$ — линейная функция (частный случай)

• $y=x^2$ — квадратичная функция (парабола)

• $y=x^3$ — кубическая парабола

• $y=x^4$, $y=x^5$ и т.д.

1.3. Область определения

Для любого натурального $n$ выражение $x^n$ определено при всех действительных $x$. Поэтому:

$$D(y)=\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Исключений нет — мы можем возводить любое действительное число в любую натуральную степень.

2. Исследование свойств функции y = xⁿ

2.1. Чётность и нечётность

Вспомним определения:

• Функция называется чётной, если для любого $x$ из области определения выполняется $f(-x)=f(x)$.

• Функция называется нечётной, если для любого $x$ из области определения выполняется $f(-x)=-f(x)$.

Рассмотрим $f(x)=x^n$:

• $f(-x)=(-x{)}^n=(-1{)}^n\cdot x^n$

Отсюда:

• Если $n$ — чётное ($n=2k$), то $(-1{)}^n=1$, значит $f(-x)=f(x)$ — функция чётная.

• Если $n$ — нечётное ($n=2k+1$), то $(-1{)}^n=-1$, значит $f(-x)=-f(x)$ — функция нечётная.

Пример 1:

• $y=x^2$ — чётная функция

• $y=x^4$ — чётная функция

• $y=x^3$ — нечётная функция

• $y=x^5$ — нечётная функция

2.2. Монотонность (возрастание и убывание)

Для нечётных n ($n=1,3,5,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$):

• Производная (будет изучаться позже) положительна при всех $x\mathrm{\ne }0$, функция возрастает на всей области определения.

• Функция $y=x^n$ при нечётном $n$ является возрастающей на $\mathbb{R}$.

Для чётных n ($n=2,4,6,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$):

• При $x<0$: функция убывает (чем меньше $x$, тем больше $y$ по модулю, но с учётом чётности — при движении к нулю значения уменьшаются)

• При $x>0$: функция возрастает

• Точка $x=0$ — точка минимума

2.3. Ограниченность

• При нечётных $n$: функция не ограничена ни сверху, ни снизу. При $x\to +\mathrm{\infty }$ $y\to +\mathrm{\infty }$, при $x\to -\mathrm{\infty }$ $y\to -\mathrm{\infty }$.

• При чётных $n$: функция ограничена снизу (минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$), но не ограничена сверху.

2.4. Область значений

• Для нечётных $n$: $E(y)=\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$ — все действительные числа.

• Для чётных $n$: $E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$ — все неотрицательные числа.

2.5. Нули функции и промежутки знакопостоянства

• Нуль функции: $x^n=0$ только при $x=0$ (для любого $n$).

• Промежутки знакопостоянства:

  • При нечётных $n$: $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$.

  • При чётных $n$: $y\ge 0$ для всех $x$, $y=0$ только при $x=0$.

3. Сводная таблица свойств

4. Анализ графиков

4.1. График функции y = x² (чётная степень, n = 2)

График — парабола, симметричная относительно оси OY.

• Вершина в точке (0; 0)

• Ветви направлены вверх

• Проходит через точки: (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (-2; 4)

4.2. График функции y = x⁴ (чётная степень, n = 4)

Похож на параболу, но более "крутой" вблизи нуля и более "пологий" вдали? На самом деле при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ значения меньше, чем у $x^2$ (например, 0.5⁴ = 0.0625, а 0.5² = 0.25), а при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ значения больше (2⁴ = 16, 2² = 4).

• Также симметричен относительно OY

• Проходит через точки (1; 1) и (-1; 1)

• При $x=2$: $y=16$

4.3. График функции y = x³ (нечётная степень, n = 3)

График — кубическая парабола.

• Симметричен относительно начала координат (нечётная функция)

• Проходит через точки: (0; 0), (1; 1), (-1; -1), (2; 8), (-2; -8)

• При $x>0$ график выше оси OX, при $x<0$ — ниже

4.4. График функции y = x⁵ (нечётная степень, n = 5)

Похож на $y=x^3$, но ещё более "крутой" при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ и более "пологий" при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$.

• При $x=0.5$: ${0.5}^5=0.03125$ (очень мало)

• При $x=2$: $2^5=32$ (быстро растёт)

4.5. Общие закономерности

1. Все графики проходят через точки (0; 0) и (1; 1).

2. При $x=-1$: для чётных $n$ $y=1$, для нечётных $y=-1$.

3. При увеличении $n$:

   • На интервале (0; 1) график проходит ниже для больших $n$ (степень "прижимает" значения к нулю)

   • При $x>1$ график идёт выше для больших $n$ (быстрее растёт)

   • При $x<-1$ для чётных $n$ график идёт выше, для нечётных — ниже (из-за знака)

5. Примеры исследования функций

5.1. Пример 2: Исследовать функцию y = x⁶

Решение:

• $n=6$ — чётное

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Чётность: чётная

• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty })$

• Монотонность: убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$, возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$

• Нули: $x=0$

• Промежутки знакопостоянства: $y\ge 0$ при всех $x$

• Ограниченность: ограничена снизу (y ≥ 0)

• Наименьшее значение: 0 при $x=0$

5.2. Пример 3: Исследовать функцию y = x⁷

Решение:

• $n=7$ — нечётное

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Чётность: нечётная

• Область значений: $\mathbb{R}$

• Монотонность: возрастает на $\mathbb{R}$

• Нули: $x=0$

• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$

• Ограниченность: не ограничена

5.3. Пример 4: Сравнение графиков

Расположить в порядке возрастания при $x=0.5$ значения функций: $x^2,x^3,x^4,x^5$

Решение:
При $x=0.5$:

• ${0.5}^2=0.25$

• ${0.5}^3=0.125$

• ${0.5}^4=0.0625$

• ${0.5}^5=0.03125$

Чем больше степень, тем меньше значение (так как 0 < x < 1).

Ответ: $x^5<x^4<x^3<x^2$

При $x=2$:

• $2^2=4$

• $2^3=8$

• $2^4=16$

• $2^5=32$

Чем больше степень, тем больше значение.

5.4. Пример 5: Симметрия графиков

Определить, какие из точек принадлежат графику функции $y=x^4$: A(2; 16), B(-2; -16), C(-2; 16)

Решение:
Для $y=x^4$:

• A: $2^4=16$ — да

• B: $(-2{)}^4=16\mathrm{\ne }-16$ — нет

• C: $(-2{)}^4=16$ — да

Так как функция чётная, если точка (2; 16) принадлежит, то и (-2; 16) принадлежит.

6. Построение графиков

6.1. Пример 6: Построить график y = x³

Составим таблицу значений:

График симметричен относительно начала координат.

6.2. Пример 7: Построить график y = x⁴

Таблица значений:

График симметричен относительно оси OY.

6.3. Особенности построения

1. Для чётных степеней график симметричен относительно оси OY, поэтому достаточно построить для $x\ge 0$ и отразить.

2. Для нечётных степеней график симметричен относительно начала координат, поэтому можно построить для $x\ge 0$ и затем повернуть на 180° (или отразить относительно оси OY, а затем относительно OX).

3. Чем выше степень, тем быстрее растёт функция при $x>1$ и тем ближе к нулю при $0<x<1$.

7. Применение свойств при решении уравнений и неравенств

7.1. Пример 8: Решить уравнение x⁵ = 32

Решение:
$x^5=32$
$x=\sqrt[5]{32}=2$ (так как $2^5=32$)

Учитывая нечётность степени, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: 2

7.2. Пример 9: Решить уравнение x⁴ = 16

Решение:
$x^4=16$
$x^2=4$ или $x^2=-4$ (второе не имеет решений)
$x=\pm 2$

Учитывая чётность степени, уравнение имеет два решения.

Ответ: $\pm 2$

7.3. Пример 10: Решить неравенство x³ < 8

Решение:
$x^3<8$
Так как функция $y=x^3$ возрастает, то:
$x<\sqrt[3]{8}=2$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };2)$

7.4. Пример 11: Решить неравенство x⁴ < 16

Решение:
$x^4<16$
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\sqrt[4]{16}=2$ (так как функция чётная)
$-2<x<2$

Ответ: $(-2;2)$

8. Таблица основных свойств и графиков

9. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Путают чётность и нечётность: неверно определяют поведение при отрицательных x.

2. Неправильно строят графики высоких степеней: думают, что все параболы выглядят как $y=x^2$.

3. Ошибки при решении уравнений: забывают про два корня для чётных степеней.

4. Неправильное определение области значений: для чётных степеней забывают, что значения только неотрицательные.

5. Путают возрастание и убывание на промежутках.

Полезные советы:

1. Всегда проверяйте чётность показателя — от этого зависит симметрия графика.

2. Для чётных степеней при решении уравнений $x^n=a$ всегда рассматривайте $x=\pm \sqrt[n]{a}$.

3. Помните, что при $0<x<1$ большая степень даёт меньшее значение, а при $x>1$ — большее.

4. Используйте таблицу значений для точного построения.

10. Итоги урока

Главные выводы:

1. Степенная функция с натуральным показателем имеет вид $y=x^n$.

2. При чётном $n$ функция чётная, область значений $[0;+\mathrm{\infty })$, убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$, возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$.

3. При нечётном $n$ функция нечётная, область значений $\mathbb{R}$, возрастает на всей области определения.

4. Все графики проходят через точки (0; 0) и (1; 1).

5. При увеличении $n$ график становится более "крутым" при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ и более "пологим" при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$.

Домашнее задание:

1. Исследуйте функцию $y=x^8$ (укажите область определения, чётность, область значений, промежутки монотонности).

2. Постройте схематически графики функций на одной координатной плоскости:
   а) $y=x^2$ и $y=x^4$
   б) $y=x^3$ и $y=x^5$

3. Решите уравнения:
   а) $x^3=27$
   б) $x^4=81$
   в) $x^5=-32$

4. Решите неравенства:
   а) $x^3<64$
   б) $x^4>16$

5. Дополнительно: Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^4=a$ имеет ровно два решения.