Текст учебника. Урок 14. Степенная функция y = x^(p/q), её свойства

1. Определение степенной функции с рациональным показателем

1.1. Обобщение понятия степенной функции

На прошлом уроке мы изучили степенную функцию с натуральным показателем $y=x^n$. Сегодня мы обобщим это понятие, рассматривая показатели, которые являются рациональными числами.

Определение: Степенной функцией с рациональным показателем называется функция вида:

$$y=x^{\frac{p}{q}}$$

где $\frac{p}{q}$ — рациональное число ($p\in \mathbb{Z}$, $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$), и $x$ — независимая переменная.

1.2. Связь с корнями

Напомним определение степени с рациональным показателем:

$$x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}$$

Это означает, что степенная функция с рациональным показателем тесно связана с операцией извлечения корня.

1.3. Примеры

• $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ — квадратный корень

• $y=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$ — кубический корень

• $y=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}$ — корень третьей степени из квадрата

• $y=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ — обратная величина квадратного корня

• $y=x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

2. Область определения функции y = x^(p/q)

Область определения степенной функции с рациональным показателем зависит от нескольких факторов: знака показателя и чётности знаменателя $q$.

2.1. Общий принцип

Функция $y=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}$ определена для тех $x$, при которых подкоренное выражение $x^p$ имеет смысл для корня степени $q$.

2.2. Случай 1: Показатель положительный ($\frac{p}{q}>0$)

А) Если $q$ — нечётное ($q=2k+1$):

• Корень нечётной степени определён для любого действительного числа

• Значит, функция определена при всех $x\in \mathbb{R}$

Б) Если $q$ — чётное ($q=2k$):

• Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел

• Значит, функция определена при $x\ge 0$

2.3. Случай 2: Показатель отрицательный ($\frac{p}{q}<0$)

В этом случае $x^{\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\mathrm{\mid }p\mathrm{/}q\mathrm{\mid }}}$. Добавляется условие $x\mathrm{\ne }0$ (делить на ноль нельзя).

А) Если $q$ — нечётное:

• Функция определена при всех $x\mathrm{\ne }0$

Б) Если $q$ — чётное:

• Функция определена при $x>0$ (строго больше нуля, так как и корень чётной степени, и деление)

2.4. Сводная таблица области определения

2.5. Примеры определения области определения

Пример 1: $y=x^{\frac{1}{3}}$ ($p=1,q=3$ — нечётное, положительное)

• Область определения: $\mathbb{R}$ (все действительные числа)

Пример 2: $y=x^{\frac{1}{2}}$ ($p=1,q=2$ — чётное, положительное)

• Область определения: $[0;+\mathrm{\infty })$

Пример 3: $y=x^{-\frac{1}{3}}$ ($p=-1,q=3$ — нечётное, отрицательное)

• Область определения: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

Пример 4: $y=x^{-\frac{1}{2}}$ ($p=-1,q=2$ — чётное, отрицательное)

• Область определения: $(0;+\mathrm{\infty })$

Пример 5: $y=x^{\frac{2}{3}}$ ($p=2,q=3$ — нечётное, положительное)

• Область определения: $\mathbb{R}$ (так как кубический корень из любого числа)

Пример 6: $y=x^{\frac{3}{4}}$ ($p=3,q=4$ — чётное, положительное)

• Область определения: $[0;+\mathrm{\infty })$

3. Исследование монотонности и чётности на примерах

3.1. Функция y = x^(1/2) (квадратный корень)

Свойства:

• Область определения: $[0;+\mathrm{\infty })$

• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty })$

• Монотонность: возрастает на всей области определения
  (чем больше $x$, тем больше $\sqrt{x}$)

• Чётность: функция не является ни чётной, ни нечётной, так как область определения не симметрична относительно нуля

• Ограниченность: не ограничена сверху, ограничена снизу (минимальное значение 0)

• Нуль функции: $y=0$ при $x=0$

График: ветвь параболы, лежащая на боку, проходящая через точки (0;0), (1;1), (4;2), (9;3)

3.2. Функция y = x^(-1) (обратная пропорциональность)

Хотя показатель $-1$ — целое число, это частный случай рационального показателя.

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

• Область значений: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

• Монотонность:

  • убывает на $(-\mathrm{\infty };0)$

  • убывает на $(0;+\mathrm{\infty })$
    (но в целом функция не монотонна на всей области определения)

• Чётность: нечётная ($f(-x)=-f(x)$)

• Ограниченность: не ограничена (при $x\to 0$ $y\to \pm \mathrm{\infty }$)

• Нули функции: нет

График: гипербола, состоящая из двух ветвей в I и III координатных четвертях.

3.3. Функция y = x^(1/3) (кубический корень)

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Область значений: $\mathbb{R}$

• Монотонность: возрастает на всей области определения

• Чётность: нечётная ($\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$)

• Ограниченность: не ограничена

• Нуль функции: $y=0$ при $x=0$

График: симметричен относительно начала координат, проходит через точки (-8;-2), (-1;-1), (0;0), (1;1), (8;2)

3.4. Функция y = x^(-1/2)

Свойства:

• Область определения: $(0;+\mathrm{\infty })$

• Область значений: $(0;+\mathrm{\infty })$

• Монотонность: убывает на всей области определения
  (чем больше $x$, тем меньше значение)

• Чётность: не рассматривается из-за несимметричной области определения

• Ограниченность: ограничена снизу (y > 0), не ограничена сверху (при $x\to 0^{+}$ $y\to +\mathrm{\infty }$)

• Нули функции: нет

График: ветвь гиперболы, проходящая через точки (1;1), (4;0.5), (9;1/3)

3.5. Функция y = x^(2/3)

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$ (кубический корень из любого числа)

• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty })$ (так как квадрат всегда неотрицателен)

• Монотонность:

  • убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$

  • возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$

• Чётность: чётная ($(-x{)}^{2\mathrm{/}3}=\sqrt[3]{(-x{)}^2}=\sqrt[3]{x^2}=x^{2\mathrm{/}3}$)

• Ограниченность: ограничена снизу (минимальное значение 0)

• Нуль функции: $y=0$ при $x=0$

График: напоминает параболу, но более "пологая" вблизи нуля и более "крутая" при больших значениях? На самом деле при $x>1$ значения меньше, чем у $x^2$, так как показатель меньше 2.

4. Сравнение свойств для разных показателей

4.1. Таблица сравнения

4.2. Общие закономерности

1. Если показатель положительный:

   • Функция возрастает (если не имеет особенности в нуле)

   • При $x>0$ значения положительны

   • При $x=0$ значение 0 (если 0 входит в ОДЗ)

2. Если показатель отрицательный:

   • Функция убывает на каждом промежутке области определения

   • При $x>0$ значения положительны

   • Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная)

3. Если знаменатель чётный:

   • Область определения ограничена неотрицательными $x$ (или строго положительными при отрицательном показателе)

4. Если знаменатель нечётный:

   • Область определения шире — может включать отрицательные $x$

5. Примеры исследования функций

5.1. Пример 7: Исследовать функцию y = x^(3/5)

Решение:

• $\frac{p}{q}=\frac{3}{5}>0$

• $q=5$ — нечётное

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Область значений: $\mathbb{R}$ (так как корень нечётной степени из любого числа)

• Чётность: $(-x{)}^{3\mathrm{/}5}=\sqrt[5]{(-x{)}^3}=\sqrt[5]{-x^3}=-\sqrt[5]{x^3}=-x^{3\mathrm{/}5}$ — функция нечётная

• Монотонность: возрастает на $\mathbb{R}$ (положительный показатель, нечётный знаменатель)

• Нули: $x=0$

• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$

5.2. Пример 8: Исследовать функцию y = x^(4/5)

Решение:

• $\frac{p}{q}=\frac{4}{5}>0$

• $q=5$ — нечётное

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty })$ (числитель чётный, степень всегда неотрицательна)

• Чётность: $(-x{)}^{4\mathrm{/}5}=\sqrt[5]{(-x{)}^4}=\sqrt[5]{x^4}=x^{4\mathrm{/}5}$ — функция чётная

• Монотонность: убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$, возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$

• Нули: $x=0$

• Промежутки знакопостоянства: $y\ge 0$ при всех $x$

5.3. Пример 9: Исследовать функцию y = x^(-3/4)

Решение:

• $\frac{p}{q}=-\frac{3}{4}<0$

• $q=4$ — чётное

• Область определения: $(0;+\mathrm{\infty })$ (чётный корень из положительного числа, и деление)

• Область значений: $(0;+\mathrm{\infty })$

• Чётность: не рассматривается

• Монотонность: убывает на $(0;+\mathrm{\infty })$

• Нули: нет

• Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=0$ (горизонтальная при $x\to +\mathrm{\infty }$)

6. Графики основных функций

6.1. График y = √x (x^(1/2))

• Ветвь параболы, лежащая на боку

• Проходит через (0;0), (1;1), (4;2), (9;3)

• Чем больше x, тем медленнее рост

6.2. График y = ∛x (x^(1/3))

• Симметричен относительно начала координат

• Проходит через (-8;-2), (-1;-1), (0;0), (1;1), (8;2)

• Более пологий, чем квадратный корень, при больших x

6.3. График y = x^(-1) (гипербола)

• Две ветви в I и III четвертях

• Асимптоты: x = 0 и y = 0

• Проходит через (1;1), (-1;-1)

6.4. График y = x^(2/3)

• Симметричен относительно оси OY (чётная функция)

• Проходит через (-8;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (8;4)

• Напоминает параболу, но более "приплюснутая" вблизи нуля

6.5. График y = x^(-1/2)

• Одна ветвь в I четверти

• Асимптоты: x = 0 и y = 0

• Проходит через (1;1), (4;0.5), (9;1/3)

7. Применение свойств при решении задач

7.1. Пример 10: Сравнение значений

Сравнить: $3^{1\mathrm{/}3}$ и $2^{1\mathrm{/}2}$

Решение:
Возведём обе части в 6-ю степень (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3):
$(3^{1\mathrm{/}3}{)}^6=3^2=9$
$(2^{1\mathrm{/}2}{)}^6=2^3=8$

Так как $9>8$, то $3^{1\mathrm{/}3}>2^{1\mathrm{/}2}$

Ответ: $3^{1\mathrm{/}3}>2^{1\mathrm{/}2}$

7.2. Пример 11: Решение уравнения

Решить уравнение: $x^{2\mathrm{/}3}=4$

Решение:
$x^{2\mathrm{/}3}=4$
Возведём обе части в степень 3/2 (или сначала в 3-ю, потом извлечём корень):
$(x^{2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}=x^1=4^{3\mathrm{/}2}$

$4^{3\mathrm{/}2}=(4^{1\mathrm{/}2}{)}^3=2^3=8$ или $4^{3\mathrm{/}2}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8$

Таким образом, $x=8$.

Проверим: $8^{2\mathrm{/}3}=(8^{1\mathrm{/}3}{)}^2=2^2=4$ ✓

Но нужно учесть чётность? Функция $y=x^{2\mathrm{/}3}$ чётная, значит, если есть решение $x=8$, то и $x=-8$ должно проверяться:
$(-8{)}^{2\mathrm{/}3}=\sqrt[3]{(-8{)}^2}=\sqrt[3]{64}=4$ — тоже подходит!

Ответ: $\pm 8$

7.3. Пример 12: Решение неравенства

Решить неравенство: $x^{-1\mathrm{/}2}<2$

Решение:
Область определения: $x>0$
Так как функция убывает, при возведении в степень знак неравенства меняется:
$x^{-1\mathrm{/}2}<2$
Возведём обе части в степень -2 (или сначала преобразуем):

$x^{-1\mathrm{/}2}<2$
$\frac{1}{\sqrt{x}}<2$
$\sqrt{x}>\frac{1}{2}$ (при $x>0$ знак сохраняется)
$x>\frac{1}{4}$

С учётом ОДЗ: $x>\frac{1}{4}$

Ответ: $(\frac{1}{4};+\mathrm{\infty })$

8. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Неправильное определение области определения: забывают про чётность знаменателя.

2. Ошибки при возведении в степень: путают $x^{p\mathrm{/}q}$ и $(x^p{)}^{1\mathrm{/}q}$.

3. Не учитывают два знака при чётных числителях: в примере $x^{2\mathrm{/}3}$ забывают про отрицательные x.

4. Неправильное сравнение степеней: не умеют приводить к общему показателю.

5. Ошибки с отрицательными показателями: путают убывание и возрастание.

Полезные советы:

1. Всегда начинайте с определения области определения — от этого зависит всё дальнейшее исследование.

2. Помните, что $x^{p\mathrm{/}q}=\sqrt[q]{x^p}=(\sqrt[q]{x}{)}^p$ — оба представления могут быть полезны.

3. При решении уравнений возводите в степень, обратную данной, но учитывайте возможное появление посторонних корней.

4. Для сравнения степеней возводите оба числа в общую степень.

9. Итоги урока

Главные выводы:

1. Степенная функция с рациональным показателем $y=x^{p\mathrm{/}q}$ определяется через корень $q$-й степени.

2. Область определения зависит от чётности $q$ и знака показателя:

   • Нечётный $q$: при положительном показателе — $\mathbb{R}$, при отрицательном — $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

   • Чётный $q$: при положительном показателе — $[0;+\mathrm{\infty })$, при отрицательном — $(0;+\mathrm{\infty })$

3. Чётность функции определяется чётностью числителя $p$ при нечётном $q$.

4. Монотонность: при положительном показателе функция возрастает (на своей области определения), при отрицательном — убывает.

5. Графики функций с рациональным показателем разнообразны и занимают промежуточное положение между степенными функциями с целыми показателями.

Домашнее задание:

1. Найдите область определения функций:
   а) $y=x^{1\mathrm{/}4}$
   б) $y=x^{3\mathrm{/}5}$
   в) $y=x^{-2\mathrm{/}3}$
   г) $y=x^{-3\mathrm{/}4}$

2. Исследуйте функцию $y=x^{3\mathrm{/}4}$ (область определения, область значений, чётность/нечётность, монотонность).

3. Сравните числа:
   а) $4^{1\mathrm{/}3}$ и $3^{1\mathrm{/}2}$
   б) $8^{1\mathrm{/}4}$ и $4^{1\mathrm{/}3}$

4. Решите уравнения:
   а) $x^{1\mathrm{/}3}=2$
   б) $x^{2\mathrm{/}5}=4$
   в) $x^{-1\mathrm{/}3}=\frac{1}{2}$

5. Дополнительно: Постройте схематически графики функций $y=x^{1\mathrm{/}2}$, $y=x^{1\mathrm{/}3}$, $y=x^{2\mathrm{/}3}$ на одной координатной плоскости.