Текст учебника. Урок 15. Понятие о непрерывности функции. Преобразование графиков.

1. Интуитивное понятие непрерывности функции

1.1. Наглядное представление

В математике часто важно знать, является ли функция непрерывной. Что это значит?

Интуитивное определение: Функция непрерывна на промежутке, если её график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. График представляет собой сплошную линию без разрывов, скачков и "дырок".

Пример 1 (непрерывные функции):

• $y=2x+1$ — прямая линия (непрерывна везде)

• $y=x^2$ — парабола (непрерывна везде)

• $y=\sqrt{x}$ — непрерывна на $[0;+\mathrm{\infty })$

Пример 2 (разрывные функции):

• $y=\frac{1}{x}$ — имеет разрыв в точке $x=0$ (график распадается на две отдельные ветви)

• $y=\{\begin{array}{ll}x,& x<1\\ x+1,& x\ge 1\end{array}$ — имеет скачок в точке $x=1$

• $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ — имеет "дырку" в точке $x=1$ (хотя функция не определена в этой точке, предел существует)

1.2. Точки разрыва

Точка разрыва — это точка, в которой функция не является непрерывной.

Основные типы разрывов (на интуитивном уровне):

1. Разрыв I рода (скачок): функция имеет конечные, но разные пределы слева и справа.
   Пример: функция знака $y=\mathrm{sign}(x)$ в точке $x=0$.

2. Разрыв II рода (бесконечный скачок): хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
   Пример: $y=\frac{1}{x}$ в точке $x=0$.

3. Устранимый разрыв: функция не определена в точке, но предел существует.
   Пример: $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ в точке $x=1$ (после сокращения получаем $y=x+1$, но в самой точке функция не определена).

1.3. Пример 3: Определение точек разрыва

Найти точки разрыва функции $y=\frac{x}{x^2-4}$.

Решение:
Знаменатель обращается в ноль при $x^2-4=0$, т.е. $x=\pm 2$.
В этих точках функция не определена, и при приближении к ним значения функции стремятся к бесконечности.
Это точки разрыва II рода.

Ответ: $x=-2$, $x=2$

2. Теоремы о непрерывности элементарных функций

В курсе алгебры мы не доказываем строго непрерывность, но принимаем следующие факты:

2.1. Непрерывность многочленов

Теорема 1: Любой многочлен $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_0$ является непрерывной функцией на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Пример 4: $y=3x^4-2x^2+5$ — непрерывна на $\mathbb{R}$.

2.2. Непрерывность рациональных функций

Теорема 2: Рациональная функция $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (где $P$ и $Q$ — многочлены) непрерывна во всех точках своей области определения, т.е. везде, где $Q(x)\mathrm{\ne }0$.

Пример 5: $y=\frac{x+1}{x-2}$ непрерывна на $(-\mathrm{\infty };2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$. В точке $x=2$ — разрыв.

2.3. Непрерывность степенных функций

Теорема 3: Степенная функция $y=x^a$ (с любым действительным показателем $a$) непрерывна на своей области определения.

Напомним области определения для разных случаев:

• При натуральном $a$: $\mathbb{R}$

• При целом отрицательном: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

• При рациональном $a=p\mathrm{/}q$ с чётным $q$: $[0;+\mathrm{\infty })$ или $(0;+\mathrm{\infty })$

2.4. Следствие

Все элементарные функции, которые мы изучаем (многочлены, рациональные, степенные, а также тригонометрические, показательные и логарифмические — в старших классах), непрерывны на своей области определения.

Это важное свойство позволяет применять метод интервалов и другие методы решения неравенств.

3. Преобразования графиков функций

Очень часто нам нужно построить график функции, который является результатом преобразования известного графика. Рассмотрим основные виды преобразований.

3.1. Параллельный перенос (сдвиг)

3.1.1. Сдвиг вдоль оси OY (вертикальный перенос)

Правило: График функции $y=f(x)+a$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси OY на $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ единиц:

• вверх, если $a>0$

• вниз, если $a<0$

Пример 6: $y=x^2+3$ — парабола $y=x^2$, сдвинутая вверх на 3 единицы.

Пример 7: $y=\sqrt{x}-2$ — график квадратного корня, сдвинутый вниз на 2 единицы.

3.1.2. Сдвиг вдоль оси OX (горизонтальный перенос)

Правило: График функции $y=f(x-a)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси OX на $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ единиц:

• вправо, если $a>0$

• влево, если $a<0$

Важно: знак в скобке противоположен направлению сдвига! $x-a$ — сдвиг вправо на $a$, $x+a$ — сдвиг влево на $a$.

Пример 8: $y=(x-2{)}^2$ — парабола $y=x^2$, сдвинутая вправо на 2 единицы.

Пример 9: $y=\sqrt{x+1}$ — график квадратного корня, сдвинутый влево на 1 единицу.

3.2. Растяжение и сжатие

3.2.1. Растяжение/сжатие вдоль оси OY

Правило: График функции $y=k\cdot f(x)$ получается из графика $y=f(x)$:

• растяжением в $k$ раз вдоль оси OY, если $k>1$

• сжатием в $1\mathrm{/}k$ раз вдоль оси OY, если $0<k<1$

Пример 10: $y=2x^2$ — парабола $y=x^2$, растянутая в 2 раза по вертикали (более крутая).

Пример 11: $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ — график корня, сжатый в 2 раза по вертикали (более пологий).

3.2.2. Растяжение/сжатие вдоль оси OX

Правило: График функции $y=f(kx)$ получается из графика $y=f(x)$:

• сжатием в $k$ раз вдоль оси OX, если $k>1$

• растяжением в $1\mathrm{/}k$ раз вдоль оси OX, если $0<k<1$

Пример 12: $y=(2x{)}^2=4x^2$ — парабола $y=x^2$, сжатая в 2 раза по горизонтали.

Пример 13: $y=\sqrt{\frac{x}{2}}$ — график корня, растянутый в 2 раза по горизонтали.

3.3. Отражение (симметрия)

3.3.1. Отражение относительно оси OX

Правило: График функции $y=-f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ зеркальным отражением относительно оси OX.

Пример 14: $y=-x^2$ — парабола $y=x^2$, отражённая относительно оси OX (ветви вниз).

Пример 15: $y=-\sqrt{x}$ — график корня, отражённый относительно оси OX.

3.3.2. Отражение относительно оси OY

Правило: График функции $y=f(-x)$ получается из графика $y=f(x)$ зеркальным отражением относительно оси OY.

Пример 16: $y=(-x{)}^2=x^2$ — отражение не меняет график, так как функция чётная.

Пример 17: $y=\sqrt{-x}$ — график корня, отражённый относительно оси OY (определён при $x\le 0$).

4. Комбинации преобразований

Часто приходится применять несколько преобразований последовательно. Важно соблюдать порядок.

4.1. Пример 18: Построить график $y=2\sqrt{x-1}+3$

Построение (от базового $y=\sqrt{x}$):

1. Сдвиг вправо на 1: $y=\sqrt{x-1}$

2. Растяжение по вертикали в 2 раза: $y=2\sqrt{x-1}$

3. Сдвиг вверх на 3: $y=2\sqrt{x-1}+3$

4.2. Пример 19: Построить график $y=-(x+2{)}^3-1$

Построение (от базового $y=x^3$):

1. Сдвиг влево на 2: $y=(x+2{)}^3$

2. Отражение относительно OX: $y=-(x+2{)}^3$

3. Сдвиг вниз на 1: $y=-(x+2{)}^3-1$

4.3. Пример 20: Построить график $y=\frac{1}{x-3}+2$

Построение (от базового $y=\frac{1}{x}$):

1. Сдвиг вправо на 3: $y=\frac{1}{x-3}$

2. Сдвиг вверх на 2: $y=\frac{1}{x-3}+2$

Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=2$.

5. Таблица основных преобразований

6. Примеры на применение преобразований

6.1. Пример 21: Определить преобразование

График функции $y=\sqrt{x}$ сдвинули влево на 2 и вниз на 3. Записать формулу новой функции.

Решение:

• Сдвиг влево на 2: $y=\sqrt{x+2}$

• Сдвиг вниз на 3: $y=\sqrt{x+2}-3$

Ответ: $y=\sqrt{x+2}-3$

6.2. Пример 22: Обратная задача

График какой функции получится, если к графику $y=x^3$ применить: растяжение по вертикали в 3 раза, затем сдвиг вправо на 4?

Решение:

• Растяжение: $y=3x^3$

• Сдвиг вправо на 4: $y=3(x-4{)}^3$

Ответ: $y=3(x-4{)}^3$

6.3. Пример 23: Комплексное преобразование

Построить график функции $y=\mathrm{\mid }{x}^2-4\mathrm{\mid }$ с помощью преобразований.

Решение:

1. Строим $y=x^2-4$ (парабола, сдвинутая вниз на 4)

2. Модуль $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }$ отражает части графика, лежащие ниже оси OX, вверх

Точки пересечения с осью OX: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

При $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>2$: $x^2-4>0$, модуль не меняет
При $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<2$: $x^2-4<0$, модуль отражает вверх

График: парабола с "отражённой" нижней частью.

7. Практическое применение: построение графиков сложных функций

7.1. Пример 24: $y=\frac{1}{x^2}$

Это можно рассматривать как преобразование $y=\frac{1}{x}$:

• $y=\frac{1}{x^2}={\left(\frac{1}{x}\right)}^2$ — но это не прямое преобразование из списка.
  Лучше строить по точкам или как $y=x^{-2}$, зная свойства чётной функции.

7.2. Пример 25: $y=\sqrt{4-x^2}$

Это верхняя половина окружности радиусом 2 с центром в начале координат.
Можно получить из $y=\sqrt{1-x^2}$ растяжением в 2 раза.

7.3. Пример 26: $y=2^{x+1}-3$

Из $y=2^x$:

• Сдвиг влево на 1: $2^{x+1}$

• Сдвиг вниз на 3: $2^{x+1}-3$

8. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Путают направление горизонтального сдвига: думают, что $f(x-2)$ — сдвиг влево, а это сдвиг вправо.

2. Неправильный порядок преобразований: например, сначала сдвигают, потом растягивают, хотя нужно наоборот.

3. Забывают про отражение при отрицательном коэффициенте: $y=-f(x)$ отражает, а $y=f(-x)$ — другое.

4. Не учитывают область определения после преобразований: например, после сдвига корня влево нужно проверить, где он определён.

Полезные советы:

1. Запоминайте: $f(x-a)$ — сдвиг вправо (минус внутри — сдвиг вправо).

2. Сначала выполняйте растяжения/сжатия и отражения, потом сдвиги (кроме случаев, когда сдвиг внутри аргумента).

3. Всегда проверяйте несколько ключевых точек после преобразований.

4. Для сложных функций разбивайте на последовательность простых шагов.

9. Итоги урока

Главные выводы:

1. Непрерывность функции на промежутке означает, что её график — сплошная линия без разрывов.

2. Все изученные элементарные функции (многочлены, рациональные, степенные) непрерывны на своей области определения.

3. Точки разрыва возникают там, где функция не определена (деление на ноль) или где происходит скачок.

4. Преобразования графиков позволяют строить сложные функции на основе известных простых.

5. Основные преобразования: параллельный перенос, растяжение/сжатие, отражение.

Домашнее задание:

1. Найдите точки разрыва функции $y=\frac{x+2}{x^2-9}$.

2. Используя преобразования, постройте графики функций:
   а) $y=(x-3{)}^2+1$
   б) $y=-\sqrt{x}+2$
   в) $y=\frac{1}{x+2}-3$
   г) $y=2\sqrt{x-1}$

3. Запишите формулу функции, график которой получен из $y=x^3$ последовательным применением преобразований:

   • сдвиг влево на 2

   • отражение относительно оси OX

   • сдвиг вверх на 5

4. Дополнительно: Постройте график функции $y=\mathrm{\mid }{x}^2-2x-3\mathrm{\mid }$.