Текст учебника. Урок 16. Общие методы исследования функций. Чтение графиков

1. Формализация схемы исследования функции

Для полного понимания поведения функции необходимо провести её исследование по определённому плану. Это помогает не только при построении графиков, но и при решении уравнений и неравенств.

1.1. Полная схема исследования функции

1. Область определения функции $D(f)$

• Все значения $x$, при которых функция определена.

• Для рациональных функций: знаменатель ≠ 0.

• Для корней чётной степени: подкоренное выражение ≥ 0.

• Для степеней с дробным показателем: учёт чётности знаменателя.

2. Чётность / нечётность функции

• Если $f(-x)=f(x)$ для всех $x$ из области определения — функция чётная (график симметричен относительно оси OY).

• Если $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$ из области определения — функция нечётная (график симметричен относительно начала координат).

• Если ни то, ни другое — функция общего вида.

3. Нули функции и точки пересечения с осями

• Нули функции: решаем уравнение $f(x)=0$.

• Пересечение с осью OY: $x=0$, находим $f(0)$, если 0 входит в ОДЗ.

4. Промежутки знакопостоянства

• Определяем, где $f(x)>0$ и где $f(x)<0$.

• Используем метод интервалов (для непрерывных функций).

5. Непрерывность и точки разрыва

• Определяем, где функция непрерывна.

• Находим точки разрыва (если есть) и их тип.

6. Монотонность (промежутки возрастания и убывания)

• Определяем, где функция возрастает, где убывает.

• В 9 классе используем известные свойства элементарных функций или графический метод.

7. Ограниченность функции

• Функция ограничена сверху, если существует число $M$ такое, что $f(x)\le M$ для всех $x$.

• Функция ограничена снизу, если существует число $m$ такое, что $f(x)\ge m$ для всех $x$.

• Функция ограничена, если она ограничена и сверху, и снизу.

8. Наибольшее и наименьшее значения

• Если функция непрерывна на отрезке, она достигает своего наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса).

• Находим эти значения (в 9 классе — по графику или из свойств).

9. Область значений функции $E(f)$

• Все значения, которые принимает функция.

1.2. Пример 1: Исследование функции по формуле

Исследовать функцию $f(x)=\frac{x}{x-2}$.

Решение:

1. Область определения: знаменатель ≠ 0 → $x\mathrm{\ne }2$.
   $D(f)=(-\mathrm{\infty };2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

2. Чётность/нечётность:
   $f(-x)=\frac{-x}{-x-2}=\frac{-x}{-(x+2)}=\frac{x}{x+2}\mathrm{\ne }f(x)$ и $\mathrm{\ne }-f(x)$.
   Функция общего вида.

3. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$.
   Пересечение с OY: $f(0)=0$ → точка $(0;0)$.

4. Промежутки знакопостоянства:
   Используем метод интервалов. Нули числителя: $x=0$; нули знаменателя: $x=2$.
   Точки разбивают прямую: $(-\mathrm{\infty };0)$, $(0;2)$, $(2;+\mathrm{\infty })$.
   Определяем знак:

   • При $x=-1$: $f(-1)=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}>0$ → на $(-\mathrm{\infty };0)$ знак "+"

   • При $x=1$: $f(1)=\frac{1}{-1}=-1<0$ → на $(0;2)$ знак "-"

   • При $x=3$: $f(3)=\frac{3}{1}=3>0$ → на $(2;+\mathrm{\infty })$ знак "+"

   Итак: $f(x)>0$ на $(-\mathrm{\infty };0)\cup (2;+\mathrm{\infty })$; $f(x)<0$ на $(0;2)$.

5. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\mathrm{\infty };2)$ и на $(2;+\mathrm{\infty })$. В точке $x=2$ — разрыв II рода (бесконечный).

6. Монотонность:
   Для $x<2$: при возрастании $x$ от $-\mathrm{\infty }$ до 2 значения сначала положительны, убывают до 0, затем становятся отрицательными и стремятся к $-\mathrm{\infty }$. Функция убывает на каждом из промежутков $(-\mathrm{\infty };2)$? Проверим:
   Возьмём $x_1=0$, $x_2=1$: $f(0)=0$, $f(1)=-1$ — убывает.
   На $(2;+\mathrm{\infty })$: $x_1=3$, $x_2=4$: $f(3)=3$, $f(4)=2$ — убывает.
   Значит, функция убывает на $(-\mathrm{\infty };2)$ и на $(2;+\mathrm{\infty })$.

7. Ограниченность:
   При $x\to 2^{-}$ $f(x)\to -\mathrm{\infty }$, при $x\to 2^{+}$ $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ — не ограничена.
   Снизу не ограничена, сверху не ограничена.

8. Наибольшее/наименьшее значения: нет (на всей области определения).

9. Область значений: так как функция принимает все значения, кроме, возможно, некоторых?
   Из графика видно, что все значения, кроме 1, достигаются. Проверим: решим $f(x)=a$:
   $\frac{x}{x-2}=a\Rightarrow x=a(x-2)\Rightarrow x=ax-2a\Rightarrow x-ax=-2a\Rightarrow x(1-a)=-2a\Rightarrow x=\frac{-2a}{1-a}$
   При $a=1$ знаменатель 0 — решений нет. Значит, $y=1$ не достигается.
   $E(f)=(-\mathrm{\infty };1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$.

2. Применение схемы к анализу графика готовой функции

Часто в задачах даётся график функции, и требуется описать её свойства, не зная формулы.

2.1. Пример 2: Анализ графика

Дан график функции (рисунок). Опишите его свойства.

(Представим, что на рисунке изображена парабола с ветвями вниз, вершиной в точке (2; 3), пересекающая ось OX в точках $x=0$ и $x=4$.)

Решение по схеме:

1. Область определения: график непрерывен для всех $x$ → $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Чётность/нечётность: график не симметричен ни относительно OY, ни относительно начала координат → функция общего вида.

3. Нули функции: пересечения с осью OX: $x=0$ и $x=4$.
   Пересечение с OY: при $x=0$ $y=0$ → точка (0; 0).

4. Промежутки знакопостоянства:

   • $f(x)>0$ при $x\in (0;4)$ (график выше оси OX)

   • $f(x)<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (4;+\mathrm{\infty })$ (график ниже оси OX)

5. Непрерывность: график — сплошная линия → функция непрерывна на $\mathbb{R}$.

6. Монотонность:

   • Возрастает на $(-\mathrm{\infty };2]$ (график идёт вверх)

   • Убывает на $[2;+\mathrm{\infty })$ (график идёт вниз)

7. Ограниченность: функция ограничена сверху (вершина — максимум), но не ограничена снизу (ветви уходят вниз).

8. Наибольшее и наименьшее значения:

   • Наибольшее значение: $y_{max}=3$ достигается в точке $x=2$.

   • Наименьшего значения нет (при $x\to \pm \mathrm{\infty }$ $y\to -\mathrm{\infty }$).

9. Область значений: $E(f)=(-\mathrm{\infty };3]$.

2.2. Пример 3: Анализ графика с разрывом

Дан график функции $y=\frac{1}{x-1}$. Опишите свойства.

Решение:

1. Область определения: все $x\mathrm{\ne }1$.

2. Чётность/нечётность: не является.

3. Нули функции: нет (числитель 1 ≠ 0).

4. Промежутки знакопостоянства:

   • При $x>1$: $y>0$

   • При $x<1$: $y<0$

5. Непрерывность: непрерывна на $(-\mathrm{\infty };1)$ и $(1;+\mathrm{\infty })$. В точке $x=1$ разрыв II рода.

6. Монотонность: убывает на каждом промежутке.

7. Ограниченность: не ограничена (при $x\to 1^{\pm }$ значения стремятся к $\pm \mathrm{\infty }$).

8. Наибольшее/наименьшее: нет.

9. Область значений: $(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$.

3. Понятие ограниченной функции

3.1. Определения

Определение 1: Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство $f(x)\le M$.

Определение 2: Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство $f(x)\ge m$.

Определение 3: Функция называется ограниченной на множестве $X$, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существует такое число $C>0$, что $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\le C$ для всех $x\in X$.

3.2. Примеры

Пример 4: $f(x)=x^2$ на $\mathbb{R}$.

• Ограничена снизу ($x^2\ge 0$), но не ограничена сверху.

Пример 5: $f(x)=\sin x$ на $\mathbb{R}$.

• Ограничена: $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\le 1$ для всех $x$.

Пример 6: $f(x)=\frac{1}{x}$ на $(0;+\mathrm{\infty })$.

• Не ограничена сверху (при $x\to 0^{+}$ значения стремятся к $+\mathrm{\infty }$), ограничена снизу ($f(x)>0$).

Пример 7: $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ на $\mathbb{R}$.

• Ограничена: $0<f(x)\le 1$.

3.3. Геометрический смысл

Ограниченность функции означает, что её график целиком помещается в горизонтальную полосу: снизу прямой $y=m$ и сверху прямой $y=M$.

4. Наибольшее и наименьшее значение функции

4.1. Определения

Определение 4: Число $M$ называется наибольшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если:

1. Существует точка $x_0\in X$ такая, что $f(x_0)=M$.

2. Для всех $x\in X$ выполняется $f(x)\le M$.

Определение 5: Число $m$ называется наименьшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если:

1. Существует точка $x_0\in X$ такая, что $f(x_0)=m$.

2. Для всех $x\in X$ выполняется $f(x)\ge m$.

4.2. Теорема Вейерштрасса (формулировка)

Теорема: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Это означает, что существуют точки $x_1,x_2\in [a;b]$ такие, что:

• $f(x_1)={\max }_{[a;b]}f(x)$

• $f(x_2)={\min }_{[a;b]}f(x)$

Важное замечание: Теорема гарантирует существование, но не говорит, как эти точки найти. В 9 классе мы находим их по графику или из свойств функции.

4.3. Пример 8: Нахождение наибольшего и наименьшего значений на отрезке

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x^2-4x+3$ на отрезке $[0;3]$.

Решение:

1. Функция непрерывна (многочлен).

2. Найдём вершину параболы: $x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$. Точка $x=2$ входит в отрезок.

3. Вычислим значения на концах отрезка и в вершине:

   • $f(0)=0-0+3=3$

   • $f(2)=4-8+3=-1$

   • $f(3)=9-12+3=0$

4. Сравниваем: наибольшее $=3$ (при $x=0$), наименьшее $=-1$ (при $x=2$).

Ответ: $y_{\text{наиб}}=3$, $y_{\text{наим}}=-1$.

4.4. Пример 9: Функция, не достигающая наибольшего значения

Рассмотрим $f(x)=\frac{1}{x}$ на интервале $(0;1]$.

• Наименьшее значение: при $x=1$ $f(1)=1$ — достигается.

• Наибольшего значения нет, так как при $x\to 0^{+}$ $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ и сколь угодно большие значения достигаются, но максимума нет (интервал открыт слева).

5. Чтение графиков: практические задания

5.1. Пример 10: Работа с графиком

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на отрезке $[-5;5]$. Найдите:

а) область определения;
б) нули функции;
в) промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания;
д) наибольшее и наименьшее значения;
е) область значений.

(Устный разбор по воображаемому графику)

5.2. Пример 11: Сравнение свойств по графикам

Даны графики трёх функций. Какая из них:

• является чётной?

• является нечётной?

• имеет наибольшее значение?

• не ограничена сверху?

5.3. Пример 12: Определение формулы по графику

По графику квадратичной функции (парабола с вершиной в точке (1; -2), проходящая через точку (0; -1)) составить формулу.

Решение:
Вершина: $y=a(x-1{)}^2-2$. Подставим (0; -1):
$-1=a(0-1{)}^2-2\Rightarrow -1=a-2\Rightarrow a=1$
Формула: $y=(x-1{)}^2-2=x^2-2x-1$.

6. Таблица свойств и их обозначений

7. Типичные ошибки и их предупреждение

Частые ошибки учащихся:

1. Путают область определения и область значений.

2. Неправильно определяют чётность: проверяют только для одного $x$.

3. Забывают про точки разрыва при определении промежутков монотонности.

4. Не учитывают, что наибольшее значение может достигаться не только в вершине, но и на концах отрезка.

5. Путают локальный максимум с глобальным.

Полезные советы:

1. Всегда начинайте исследование с области определения.

2. Для проверки чётности подставьте $-x$ в формулу и упростите.

3. При нахождении наибольшего/наименьшего значений на отрезке проверяйте все "подозрительные" точки: концы отрезка и точки, где производная равна нулю (в 9 классе — вершины, если знаете).

4. Помните, что не всякая функция имеет наибольшее/наименьшее значение.

8. Итоги урока

Главные выводы:

1. Полное исследование функции проводится по стандартной схеме из 9 пунктов.

2. Умение читать график позволяет быстро определять основные свойства функции без формулы.

3. Ограниченность функции — важная характеристика, означающая, что график не уходит в бесконечность по вертикали.

4. Теорема Вейерштрасса гарантирует существование наибольшего и наименьшего значений для непрерывной на отрезке функции.

5. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах.

Домашнее задание:

1. Исследуйте функцию $f(x)=\frac{2x}{x+1}$ по схеме (область определения, нули, промежутки знакопостоянства, чётность, монотонность, ограниченность).

2. По графику функции (представленному в учебнике) определите:

   • область определения;

   • нули функции;

   • промежутки знакопостоянства;

   • промежутки возрастания и убывания;

   • наибольшее и наименьшее значения (если существуют).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x^2-2x+3$ на отрезке $[-1;2]$.

4. Дополнительно: Приведите пример функции, определённой на $\mathbb{R}$, которая:
   а) ограничена снизу, но не ограничена сверху;
   б) ограничена, но не имеет наибольшего значения.