Текст учебника. Урок 4. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований.

1. Актуализация знаний. Базовые графики

Вспомним, как выглядят основные элементарные функции, которые будут нашей "основой" (шаблонами).

1. Линейная функция: $y=x$

   • График — прямая, проходящая через начало координат (биссектриса I и III координатных четвертей).

   • Вид:

2. Квадратичная функция: $y=x^2$

   • График — парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви направлены вверх.

   • Вид:

3. Обратная пропорциональность: $y=\frac{1}{x}$

   • График — гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III четвертях (при положительном коэффициенте). Центр симметрии — точка (0;0).

   • Вид:

Мы будем учиться "двигать" именно эти графики.

2. Параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей

Это преобразование позволяет сместить график, не меняя его формы.

2.1. Сдвиг вдоль оси Oy (вертикальный)
Правило: Чтобы построить график функции $y=f(x)+a$, нужно график $y=f(x)$ перенести параллельно вдоль оси $Oy$ на $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ единиц:

• вверх, если $a>0$;

• вниз, если $a<0$.

• Пример 1: $y=x^2+1$.
  Берём базовый график $y=x^2$ (парабола). Сдвигаем его вверх на 1 единицу. Вершина теперь не в (0;0), а в (0;1).

• Пример 2: $y=\frac{1}{x}-2$.
  Берём гиперболу $y=1\mathrm{/}x$. Сдвигаем её вниз на 2 единицы. Горизонтальная асимптота (прямая, к которой стремится график) сместится с $y=0$ на $y=-2$.

2.2. Сдвиг вдоль оси Ox (горизонтальный)
Правило: Чтобы построить график функции $y=f(x-a)$, нужно график $y=f(x)$ перенести параллельно вдоль оси $Ox$ на $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ единиц:

• вправо, если $a>0$;

• влево, если $a<0$.

Важно! Знак "минус" внутри скобки обманывает интуицию: $x-2$ означает сдвиг вправо, а $x+2$ — влево.

• Пример 3: $y=(x-3{)}^2$.
  Берём параболу $y=x^2$. Сдвигаем её вправо на 3 единицы. Вершина перемещается в точку (3; 0).

• Пример 4: $y=\frac{1}{x+2}$.
  Берём гиперболу $y=1\mathrm{/}x$. Сдвигаем её влево на 2 единицы. Вертикальная асимптота сместится с $x=0$ на $x=-2$.

3. Растяжение и сжатие вдоль осей

Это преобразование меняет форму графика, делая его более пологим или крутым.

3.1. Растяжение/сжатие вдоль оси Oy
Правило: Чтобы построить график функции $y=k\cdot f(x)$, нужно каждую точку графика $y=f(x)$ преобразовать, умножив её ординату (координату $y$) на коэффициент $k$:

• Если $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }>1$ — происходит растяжение от оси $Ox$ (график вытягивается вверх).

• Если $0<\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<1$ — происходит сжатие к оси $Ox$ (график прижимается к оси $x$).

• Пример 5: $y=3x^2$.
  Парабола $y=x^2$ становится в 3 раза "круче", уже. Все значения $y$ умножаются на 3. Точка (1;1) перейдёт в (1;3).

3.2. Растяжение/сжатие вдоль оси Ox
Правило: Чтобы построить график функции $y=f(kx)$, нужно график $y=f(x)$ преобразовать вдоль оси $Ox$. Здесь работает обратная интуиции логика:

• Если $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }>1$ — происходит сжатие к оси $Oy$ (график сужается, "пружина сжимается").

• Если $0<\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<1$ — происходит растяжение от оси $Oy$ (график расширяется).

• Пример 6: $y=\cos (2x)$ (если знакомы с тригонометрией) или $y=(3x{)}^2=9x^2$.
  График сжимается к оси $Oy$ в 2 раза. То, что парабола проходила через точку (1;1), теперь она проходит через точку $(\frac{1}{3};1)$, потому что чтобы получить $y=1$, надо $3x=1$.

4. Отражение относительно осей координат

Зеркальное отображение графика.

4.1. Отражение относительно оси Ox
Правило: График функции $y=-f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ зеркальным отражением (симметрией) относительно оси $Ox$.

• Все точки $(x;y)$ переходят в $(x;-y)$. То, что было сверху, оказывается снизу, и наоборот.

• Пример 7: $y=-x^2$.
  Это обычная парабола $y=x^2$, "перевёрнутая" вниз (ветви вниз, вершина в (0;0) остаётся на месте, так как 0 = -0).

4.2. Отражение относительно оси Oy
Правило: График функции $y=f(-x)$ получается из графика $y=f(x)$ зеркальным отражением (симметрией) относительно оси $Oy$.

• Все точки $(x;y)$ переходят в $(-x;y)$. Левая и правая части меняются местами. Важно: Это преобразование применимо, если функция определена в симметричных точках.

• Пример 8: $y=\sqrt{-x}$.
  Берём график $y=\sqrt{x}$ (ветка параболы вправо). Отражаем его относительно оси $Oy$. Получаем ветку параболы влево. Область определения теперь $x\le 0$.

5. Комплексное применение преобразований

Чаще всего в заданиях встречается комбинация преобразований. Важно соблюдать порядок:

Алгоритм построения графика $y=a\cdot f(b(x+c))+d$:

1. Растяжение/сжатие и отражение (умножение на коэффициенты $a$ и $b$) — преобразование формы.

2. Параллельный перенос (сдвиг) ($+c$ и $+d$) — перемещение готового графика.

Разбор примера: Построить график функции $y=-2(x-3{)}^2+4$.

• Исходный график: $y=x^2$.

• Шаг 1 (растяжение и отражение): Строим $y=2x^2$ (растяжение в 2 раза вдоль Oy). Затем строим $y=-2x^2$ (отражение относительно Ox) — парабола ветвями вниз, крутая.

• Шаг 2 (горизонтальный сдвиг): Сдвигаем график $y=-2x^2$ вправо на 3 единицы. Получаем $y=-2(x-3{)}^2$.

• Шаг 3 (вертикальный сдвиг): Сдвигаем полученный график вверх на 4 единицы.

• Итог: Вершина параболы находится в точке (3; 4), ветви вниз, парабола уже стандартной.

6. Практическое задание

Работа в парах на шаблонах:
На одном чертеже поэтапно построить график функции $y=\frac{1}{x-2}+1$.

1. Базовый график $y=1\mathrm{/}x$ (гипербола).

2. Сдвиг вправо на 2: $y=1\mathrm{/}(x-2)$. (Вертикальная асимптота $x=2$).

3. Сдвиг вверх на 1: $y=1\mathrm{/}(x-2)+1$. (Горизонтальная асимптота $y=1$).

Учитель проверяет правильность построения, обходя класс.

7. Итоги урока и домашнее задание

Подведение итогов:
Мы изучили мощный инструмент — геометрические преобразования графиков. Теперь мы можем строить сложные графики, не занимаясь трудоёмким табличным способом, а просто "двигая" шаблоны. Главное — запомнить правила сдвигов (особенно про сдвиг вправо при $x-2$) и порядок действий (сначала меняем форму, потом переносим).

Домашнее задание:

1. Выучить правила преобразований.

2. Используя геометрические преобразования, построить графики функций:

   • $y=(x+1{)}^2-3$

   • $y=-\sqrt{x}+2$

   • $y=\frac{2}{x}-1$ (здесь сначала растяжение в 2 раза вдоль Oy, а потом сдвиг вниз).

3. (Творческое задание) Придумать свою функцию, полученную из $y=x^3$ с помощью трёх различных преобразований, и описать последовательность построения её графика.