Текст учебника. Урок 6. Арифметический корень n-й степени. Функция y = ⁿ√x.

1. Определение корня n-й степени

1.1. Введение понятия
Вспомним: корень квадратный из числа $a$ — это такое число, квадрат которого равен $a$.
По аналогии:
Корнем n-й степени из числа $a$ ($n\in \mathbb{N},n\ge 2$) называется такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$, то есть $b^n=a$.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}=b$, где $n$ — показатель корня, $a$ — подкоренное выражение.

1.2. Важнейший нюанс: чётность и знак числа
В зависимости от чётности $n$ и знака $a$ количество корней может быть разным.

1. Если $n$ — нечётное число ($n=3,5,7,\dots$):

   • Корень нечётной степени существует для любого действительного числа $a$ (и положительного, и отрицательного, и нуля).

   • Причём этот корень единственный и имеет тот же знак, что и подкоренное выражение.

   • Примеры:

     • $\sqrt[3]{8}=2$, так как $2^3=8$.

     • $\sqrt[3]{-8}=-2$, так как $(-2{)}^3=-8$.

     • $\sqrt[5]{0}=0$.

2. Если $n$ — чётное число ($n=2,4,6,\dots$):

   • Корень чётной степени существует только для неотрицательных чисел ($a\ge 0$).

   • Для положительного $a$ существует два противоположных числа, $n$-я степень которых равна $a$ (например, $2^4=16$ и $(-2{)}^4=16$). Но возникает путаница: какое из них считать корнем?

Чтобы избежать неоднозначности, вводится специальное понятие.

2. Арифметический корень натуральной степени

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a\ge 0$ называется неотрицательное число $b\ge 0$, $n$-я степень которого равна $a$.

• Ключевое отличие: Арифметический корень всегда неотрицателен.

• Именно арифметический корень подразумевается в записи $\sqrt[n]{a}$ в школьном курсе (кроме случаев, когда отдельно оговаривается, что мы ищем все корни уравнения $x^n=a$).

• Примеры:

  • $\sqrt{16}=4$, а не $\pm 4$. Это арифметический корень.

  • $\sqrt[4]{81}=3$, так как $3^4=81$ и $3\ge 0$.

  • $\sqrt[3]{-8}$ — это корень нечётной степени из отрицательного числа. Формально, он не является арифметическим (так как арифметический только для $a\ge 0$), но мы работаем с ним по тем же правилам, помня о знаке.

Вывод: Для чётных $n$: $\sqrt[n]{a}\ge 0$ и $a\ge 0$. Для нечётных $n$: $\sqrt[n]{a}$ — действительное число, знак которого совпадает со знаком $a$.

3. Свойства арифметического корня n-й степени

Все свойства формулируются для неотрицательных подкоренных выражений (чтобы избежать проблем с чётными степенями). Пусть $a\ge 0,b\ge 0$, а $n,m,k$ — натуральные числа, $n\ge 2,m\ge 2$.

1. Корень из произведения:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$$

Корень из произведения равен произведению корней из множителей.

• Пример: $\sqrt[3]{8\cdot 27}=\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6$.

2. Корень из дроби:

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(b\mathrm{\ne }0)$$

Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

• Пример: $\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=\frac{7}{5}=1.4$.

3. Возведение корня в степень:

$$(\sqrt[n]{a}{)}^k=\sqrt[n]{a^k}$$

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

• Пример: $(\sqrt[4]{5}{)}^3=\sqrt[4]{5^3}=\sqrt[4]{125}$.

4. Извлечение корня из корня:

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$$

Корень из корня равен корню, показатель которого равен произведению показателей.

• Пример: $\sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[2\cdot 3]{729}=\sqrt[6]{729}$. Проверка: $3^6=729$, значит, ответ 3. (Или по действиям: $\sqrt[3]{729}=9,\sqrt{9}=3$).

Важное следствие (свойство 5):

$$\sqrt[n]{a^n}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$$

Если мы извлекаем корень чётной степени из чётной степени числа, результат — модуль этого числа.

• Пример: $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }$.

• Пример: $\sqrt[4]{x^4}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

• Для нечётных степеней: $\sqrt[3]{(-2{)}^3}=\sqrt[3]{-8}=-2$ — модуль не нужен, знак сохраняется.

4. Функция y = x n y= n x ​ , её свойства и график

Рассмотрим функцию $y=\sqrt[n]{x}$. Её свойства и вид графика зависят от чётности $n$.

4.1. Случай 1: $n$ — нечётное число (например, $y=\sqrt[3]{x}$)

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$ (любое действительное число, так как корень нечётной степени существует для всех $x$).

• Область значений: $E(f)=\mathbb{R}$ (функция принимает все действительные значения).

• Чётность/нечётность: Функция является нечётной, так как $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$. График симметричен относительно начала координат.

• Монотонность: Функция возрастает на всей области определения.

• График: Напоминает ветвь параболы, "положенную на бок", но симметричную относительно начала координат. Проходит через точки (-1; -1), (0; 0), (1; 1).

4.2. Случай 2: $n$ — чётное число (например, $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[4]{x}$)

• Область определения: $D(f)=[0;+\mathrm{\infty })$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным).

• Область значений: $E(f)=[0;+\mathrm{\infty })$ (корень чётной степени всегда неотрицателен).

• Чётность/нечётность: Функция не является ни чётной, ни нечётной (из-за несимметричной области определения). График расположен только в первой четверти (и в начале координат).

• Монотонность: Функция возрастает на всей области определения $[0;+\mathrm{\infty })$.

• График: Ветвь параболы, "положенная на бок". Чем выше показатель корня, тем медленнее растёт функция (график становится более пологим). Проходит через точки (0; 0) и (1; 1).

Визуализация: Учитель демонстрирует на слайде графики $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$, $y=\sqrt[4]{x}$, обращая внимание на различия.

5. Закрепление материала

1. Вычислите устно:

   • $\sqrt[3]{64}$ (4)

   • $\sqrt[4]{16}$ (2)

   • $\sqrt[5]{-32}$ (-2)

   • $\sqrt{(-7{)}^2}$ (7)

2. Упростите выражение (с применением свойств):

   • $\sqrt[3]{8a^3}$ для $a\ge 0$. (Ответ: $2a$)

   • $\sqrt[4]{16x^8}$. (Ответ: $2x^2$, так как $\sqrt[4]{x^8}=x^{8\mathrm{/}4}=x^2$)

3. Вопрос: Сравните $\sqrt[3]{9}$ и $\sqrt{3}$. (Возведём оба числа в 6-ю степень: первое — $9^2=81$, второе — $3^3=27$. Так как $81>27$, то $\sqrt[3]{9}>\sqrt{3}$).

6. Итоги урока и домашнее задание