Текст учебника. Урок 8. Иррациональные уравнения и неравенства.

1. Определение иррационального уравнения. Равносильность

1.1. Определение
Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень.

• Примеры: $\sqrt{x-2}=5$, $\sqrt[3]{x+1}=2$, $\sqrt{2x-1}=x-2$.

1.2. Понятие равносильности
Равносильными (эквивалентными) называются уравнения, у которых множества решений совпадают. В процессе решения мы заменяем исходное уравнение более простым, но при этом важно не нарушить равносильность.

1.3. Посторонние корни и потеря решений
При решении иррациональных уравнений мы часто выполняем преобразования, которые могут привести к появлению посторонних корней или к потере решений.

• Посторонние корни возникают, когда мы выполняем преобразование, расширяющее область допустимых значений (ОДЗ) уравнения, или когда возводим обе части в чётную степень без проверки знаков.

• Потеря корней происходит при делении обеих частей на выражение, содержащее переменную, или при "заужении" ОДЗ.

Главное правило: При решении иррациональных уравнений обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, если мы не следили за равносильностью переходов.

2. Метод возведения обеих частей уравнения в степень

Это основной метод решения иррациональных уравнений.

2.1. Возведение в нечётную степень
Если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получится уравнение, равносильное исходному (преобразование безопасно, посторонние корни не появляются).

• Теорема: Уравнения $f(x)=g(x)$ и $(f(x){)}^{2k+1}=(g(x){)}^{2k+1}$ равносильны.

• Пример 1: $\sqrt[3]{x^2-1}=2$.
  Возводим обе части в куб: $x^2-1=8\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$. Проверка не нужна (так как степень нечётная), но для уверенности можно подставить: $\sqrt[3]{9-1}=\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt[3]{9-1}=2$. Оба корня подходят.

2.2. Возведение в чётную степень
Если обе части уравнения возвести в чётную степень, то равносильность может нарушиться. Полученное уравнение-следствие может содержать посторонние корни.

• Теорема: При возведении обеих частей уравнения в чётную степень получается уравнение-следствие. Посторонние корни могут появиться.

• Условия равносильности: Уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе:

  $$\{\begin{array}{l}(f(x){)}^{2k}=(g(x){)}^{2k}\\ f(x)\cdot g(x)\ge 0\end{array}$$

  Однако на практике чаще используют более простой алгоритм.

Алгоритм решения уравнений вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$:

1. Найти ОДЗ (из первых двух условий автоматически следует третье, но иногда проще проверить в конце):

   • $f(x)\ge 0$ (подкоренное выражение неотрицательно).

   • $g(x)\ge 0$ (правая часть неотрицательна, так как корень чётной степени всегда ≥0).

2. Возвести обе части в квадрат: $f(x)=(g(x){)}^2$.

3. Решить полученное уравнение.

4. Проверить найденные корни на выполнение условий $f(x)\ge 0$ и $g(x)\ge 0$ (или подставить в исходное уравнение).

• Пример 2: Решить $\sqrt{2x-5}=x-4$.

  • Решение:

    1. Условия: $2x-5\ge 0$ (ОДЗ корня) и $x-4\ge 0$ (неотрицательность правой части).

    2. Возводим в квадрат: $2x-5=(x-4{)}^2$

    3. $2x-5=x^2-8x+16\Rightarrow x^2-10x+21=0\Rightarrow x_1=3,x_2=7$.

    4. Проверяем условия:

       • Для $x=3$: $x-4=-1<0$ — не подходит (правая часть отрицательна, а корень не может быть равен отрицательному числу).

       • Для $x=7$: $2\cdot 7-5=9\ge 0$, $7-4=3\ge 0$. Подходит.

  • Ответ: $x=7$.

• Пример 3: Решить $\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{2x-4}$.

  • Решение:

    1. ОДЗ: $x^2-3x+2\ge 0$ и $2x-4\ge 0$. (Можно решить систему, но проще проверить потом).

    2. Возводим в квадрат: $x^2-3x+2=2x-4$

    3. $x^2-5x+6=0\Rightarrow x_1=2,x_2=3$.

    4. Проверяем ОДЗ подстановкой:

       • $x=2$: $2^2-6+2=0\ge 0$, $2\cdot 2-4=0\ge 0$. Подходит.

       • $x=3$: $9-9+2=2\ge 0$, $6-4=2\ge 0$. Подходит.

  • Ответ: $2;3$.

3. Иррациональные неравенства

Решение иррациональных неравенств сложнее, чем уравнений, так как знак неравенства накладывает дополнительные ограничения.

3.1. Неравенство вида $\sqrt{f(x)}<g(x)$
Так как корень чётной степени всегда неотрицателен, неравенство $\sqrt{f(x)}<g(x)$ может иметь решение только если $g(x)>0$. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Система равносильности:

$$\sqrt{f(x)}<g(x)\iff \{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ f(x)<(g(x){)}^2\end{array}$$

• Пример 4: Решить $\sqrt{x+3}<2$.

  • Решение:

    $$\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ 2>0(\text{выполняется всегда})\\ x+3<4\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x<1\end{array}$$

  • Ответ: $[-3;1)$.

3.2. Неравенство вида $\sqrt{f(x)}>g(x)$
Здесь ситуация сложнее, так как правая часть может быть как положительной, так и отрицательной. Нужно рассматривать два случая.

Система равносильности (совокупность двух систем):

$$\sqrt{f(x)}>g(x)\iff [\begin{array}{c}{\displaystyle \{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)>(g(x){)}^2\\ f(x)\ge 0(\text{уже учтено в }f(x)>(g(x){)}^2\text{, но лучше добавить})\end{array}}\\ {\displaystyle \{\begin{array}{l}g(x)<0\\ f(x)\ge 0\end{array}}\end{array}$$

Пояснение: Если $g(x)<0$, то неравенство $\sqrt{f(x)}>\text{(отрицательное число)}$ выполняется автоматически для всех $x$ из ОДЗ, так как корень неотрицателен.

• Пример 5: Решить $\sqrt{x+5}>x-1$.

  • Решение:
    Рассмотрим два случая.

    Случай 1: $x-1\ge 0$ (правая часть неотрицательна).

    $$\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x+5\ge 0(\text{выполняется при }x\ge 1)\\ x+5>(x-1{)}^2\end{array}$$

    Решаем неравенство: $x+5>x^2-2x+1\Rightarrow 0>x^2-3x-4\Rightarrow x^2-3x-4<0$.
    Корни: $x=4$ и $x=-1$. Решение неравенства: $-1<x<4$. С учётом условия $x\ge 1$ получаем: $[1;4)$.

    Случай 2: $x-1<0$ (правая часть отрицательна).

    $$\{\begin{array}{l}x<1\\ x+5\ge 0\end{array}$$

    Получаем: $-5\le x<1$.

    Объединяем решения двух случаев: $[-5;1)\cup [1;4)=[-5;4)$.

  • Ответ: $[-5;4)$.

4. Закрепление материала

1. Вопрос классу: Почему при решении уравнения $\sqrt{f(x)}=g(x)$ мы требуем $g(x)\ge 0$? (Потому что значение квадратного корня не может быть отрицательным).

2. Вопрос классу: Какое преобразование может привести к потере корней? (Деление на выражение с переменной).

3. Задание (устно): Найти ОДЗ уравнения $\sqrt{x-5}+\sqrt{2-x}=3$. (Система $x-5\ge 0$ и $2-x\ge 0$ не имеет решений, значит, уравнение не имеет смысла).

4. Задание (на доске): Решить уравнение $\sqrt{2x+1}=x-1$. (Ответ: $x=4$, так как $x=0$ не проходит проверку).

5. Итоги урока и домашнее задание

Подведение итогов:
Мы научились решать иррациональные уравнения и неравенства. Главный вывод: возведение в чётную степень требует проверки или учёта дополнительных условий, а при решении неравенств необходимо рассматривать знак правой части. Эти навыки важны для успешной сдачи ЕГЭ.

Домашнее задание:

1. Выучить алгоритмы решений и условия равносильности.

2. Решить уравнения:

   • $\sqrt{3x+1}=x-1$

   • $\sqrt{x^2-5x}=\sqrt{6-2x}$

3. Решить неравенства:

   • $\sqrt{2x-3}<5$

   • $\sqrt{x+2}>x$

4. (Творческое задание) Составить и решить своё иррациональное уравнение, в котором возникает посторонний корень.