Текст учебника. Урок 9. Радианная мера угла. Тригонометрические функции числового аргумента.

1. Понятие радианной меры угла

1.1. Что такое радиан?
Радиан — это угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

Рассмотрим окружность радиуса $R$. Если мы отложим на окружности дугу, длина которой равна $R$, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, и будет равен 1 радиану.

1.2. Связь радианов и градусов
Длина всей окружности равна $2\pi R$. Значит, полный оборот (360°) содержит $2\pi$ радиан. Отсюда получаем основную формулу перехода:

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ рад}$$

Следовательно:

$${180}^{\circ }=\pi \text{ рад}$$

Формулы перевода:

1. Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить на $\frac{\pi }{180}$:

   $${\alpha }^{\circ }=\alpha \cdot \frac{\pi }{180}\text{ рад}$$

2. Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить на $\frac{180}{\pi }$:

   $$\alpha \text{ рад}=\alpha \cdot \frac{180}{\pi }\text{ градусов}$$

Примеры:

• ${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{6}$ рад.

• ${45}^{\circ }=\frac{\pi }{4}$ рад.

• ${60}^{\circ }=\frac{\pi }{3}$ рад.

• ${90}^{\circ }=\frac{\pi }{2}$ рад.

• $\frac{\pi }{3}$ рад = $\frac{\pi }{3}\cdot \frac{180}{\pi }={60}^{\circ }$.

• $\frac{3\pi }{2}$ рад = $\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{180}{\pi }={270}^{\circ }$.

Важно: В тригонометрии часто опускают обозначение "рад", и если написано, например, $\sin \frac{\pi }{3}$, то подразумевается, что аргумент взят в радианах.

2. Тригонометрическая окружность

2.1. Построение окружности
Тригонометрическая (единичная) окружность — это окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом, равным 1.

• Положительное направление углов — против часовой стрелки.

• Отрицательное направление — по часовой стрелке.

Нанесём на окружность основные точки, соответствующие углам поворота: 0, $\pi \mathrm{/}2$, $\pi$, $3\pi \mathrm{/}2$, $2\pi$.

2.2. Определение синуса и косинуса
Рассмотрим на единичной окружности точку $P_{\alpha }$, полученную поворотом точки $P_0(1;0)$ на угол $\alpha$. Эта точка имеет координаты $(x;y)$.

Определение:

• Синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P_{\alpha }$ на единичной окружности.

  $$\sin \alpha =y$$

• Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P_{\alpha }$ на единичной окружности.

  $$\cos \alpha =x$$

2.3. Определение тангенса и котангенса
Тангенс угла — это отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$

(Определён для углов, где $\cos \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$).

Котангенс угла — это отношение косинуса к синусу:

$$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

(Определён для углов, где $\sin \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\pi k,k\in \mathbb{Z}$).

2.4. Примеры нахождения значений
Используя геометрические соображения (прямоугольные треугольники), найдём значения для основных углов.

• $\alpha =0$ ($0^{\circ }$): Точка $P_0(1;0)$. $\sin 0=0$, $\cos 0=1$, $\mathrm{t}\mathrm{g}0=0\mathrm{/}1=0$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}0$ — не определён (деление на 0).

• $\alpha =\pi \mathrm{/}2$ (${90}^{\circ }$): Точка $P_{\pi \mathrm{/}2}(0;1)$. $\sin \pi \mathrm{/}2=1$, $\cos \pi \mathrm{/}2=0$, $\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}2$ — не определён, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}2=0\mathrm{/}1=0$.

• $\alpha =\pi \mathrm{/}6$ (${30}^{\circ }$): Построив прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и углом ${30}^{\circ }$, получим катеты $1\mathrm{/}2$ и $\sqrt{3}\mathrm{/}2$. Так как точка лежит в I четверти, обе координаты положительны. $\sin \pi \mathrm{/}6=1\mathrm{/}2$, $\cos \pi \mathrm{/}6=\sqrt{3}\mathrm{/}2$. Тогда $\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}6=1\mathrm{/}\sqrt{3}=\sqrt{3}\mathrm{/}3$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}6=\sqrt{3}$.

3. Знаки тригонометрических функций по четвертям

Расположение точки на окружности определяет знак её координат. Это позволяет легко определить знак синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от четверти, в которой находится угол.

Разделим окружность на 4 четверти:

• I четверть: $0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ (координаты: $x>0,y>0$)

• II четверть: $\pi \mathrm{/}2<\alpha <\pi$ (координаты: $x<0,y>0$)

• III четверть: $\pi <\alpha <3\pi \mathrm{/}2$ (координаты: $x<0,y<0$)

• IV четверть: $3\pi \mathrm{/}2<\alpha <2\pi$ (координаты: $x>0,y<0$)

Таблица знаков:

Мнемоническое правило: Для запоминания знаков синуса и косинуса можно использовать "правило правой руки" или фразу: "Синус — это игрек", а знак игрека мы знаем по четвертям.

Примеры определения знака:

1. Определить знак $\sin \frac{5\pi }{6}$.

   • $\frac{5\pi }{6}$ рад = ${150}^{\circ }$. Это II четверть. Во II четверти синус ($y$) положителен. Ответ: $+$.

2. Определить знак $\cos {240}^{\circ }$.

   • ${240}^{\circ }$ — это III четверть. В III четверти косинус ($x$) отрицателен. Ответ: $-$.

3. Определить знак $\mathrm{t}\mathrm{g}{315}^{\circ }$.

   • ${315}^{\circ }$ — это IV четверть. В IV четверти тангенс отрицателен (отношение отрицательного $y$ к положительному $x$). Ответ: $-$ .

4. Закрепление материала

Работа с заготовками окружностей (раздаточный материал):

1. Подписать на окружности точки, соответствующие углам: $0,\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}4,\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}2,\pi ,3\pi \mathrm{/}2,2\pi$.

2. Подписать координаты этих точек.

3. Определить знаки выражений:

   • $\sin {100}^{\circ }$ (+)

   • $\cos {200}^{\circ }$ (-)

   • $\mathrm{t}\mathrm{g}{300}^{\circ }$ (-)

   • $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}{190}^{\circ }$ (+)

5. Итоги урока и домашнее задание