Текст учебника. Урок 10. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

1. Основное тригонометрическое тождество

1.1. Вывод тождества
Вспомним определение синуса и косинуса с помощью единичной окружности. Для произвольного угла $\alpha$ точка на единичной окружности имеет координаты $(\cos \alpha ;\sin \alpha )$.

Уравнение единичной окружности (окружности радиусом 1 с центром в начале координат):

$$x^2+y^2=1$$

Подставим координаты нашей точки:

$$(\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha {)}^2=1$$

Получаем основное тригонометрическое тождество (ОТТ):

$$\boxed{{\displaystyle {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$$

Оно выполняется для любого угла $\alpha$.

1.2. Следствия из ОТТ
Из основного тождества можно выразить одну функцию через другую.

1. Выражение синуса через косинус:

   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$$$$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$$

   Знак $\pm$ выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол $\alpha$.

2. Выражение косинуса через синус:

   $${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$$$$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$$

   Знак $\pm$ выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол $\alpha$.

Пример 1: Найти $\cos \alpha$, если $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (II четверть).

• Решение:
  Используем ОТТ: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$.
  Значит, $\cos \alpha =\pm \frac{4}{5}$.
  Определяем знак: угол $\alpha$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. Выбираем знак "минус".
  Ответ: $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$.

2. Зависимости между тангенсом, котангенсом, синусом и косинусом

На прошлом уроке мы ввели определения тангенса и котангенса. Запишем их ещё раз и установим связь между ними.

Определения:

$$\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\cos \alpha \mathrm{\ne }0)$$$$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(\sin \alpha \mathrm{\ne }0)$$

Связь тангенса и котангенса:
Перемножим эти два выражения:

$$\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$$

Получаем важное соотношение:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =1}}$$

или

$$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }$$

Пример 2: Найти $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$ и $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$, если $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ и $\alpha$ — угол I четверти.

• Решение:

  1. Найдём $\cos \alpha$: $\cos \alpha =\sqrt{1-(1\mathrm{/}2{)}^2}=\sqrt{1-1\mathrm{/}4}=\sqrt{3\mathrm{/}4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (знак "+", так как I четверть).

  2. $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1\mathrm{/}2}{\sqrt{3}\mathrm{/}2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

  3. $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }=\sqrt{3}$.

3. Формулы, связывающие квадраты тангенса и котангенса

Эти формулы часто используются при преобразовании сложных выражений и при интегрировании в старших классах.

3.1. Связь тангенса и косинуса
Выведем формулу: $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

• Доказательство:

  $$1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$$

  Числитель, по основному тригонометрическому тождеству, равен 1. Следовательно:

  $$\boxed{{\displaystyle 1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}}$$

  (Формула справедлива при $\cos \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi k$)

3.2. Связь котангенса и синуса
Аналогично выведем формулу: $1+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

• Доказательство:

  $$1+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$$$$\boxed{{\displaystyle 1+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }}}$$

  (Формула справедлива при $\sin \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\pi k$)

Пример 3: Найти $\cos \alpha$, если $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =2$ и $\alpha$ лежит в III четверти.

• Решение:

  1. Используем формулу $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$:

     $$1+2^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow 1+4=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow 5=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

  2. Отсюда ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$.

  3. Значит, $\cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.

  4. Определяем знак: в III четверти косинус отрицателен. Выбираем знак "минус".
     Ответ: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Пример 4: Упростить выражение $\frac{1}{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha }$.

• Решение:
  Так как $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, то обратная величина:

  $$\frac{1}{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha }={\cos }^2\alpha$$

  Ответ: ${\cos }^2\alpha$.

4. Систематизация и применение

Все выведенные формулы можно представить в виде схемы:

• Квадраты: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ — основа.

• Отношения: $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$; $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.

• Произведение: $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =1$.

• Связь с единицей: $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$; $1+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

Комплексный пример 5: Известно, что $\cos \alpha =-0.8$ и $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (III четверть). Найти все остальные тригонометрические функции.

• Решение:

  1. Находим $\sin \alpha$ через ОТТ: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-0.64=0.36$. Значит, $\sin \alpha =\pm 0.6$. В III четверти синус отрицателен, поэтому $\sin \alpha =-0.6$.

  2. Находим $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-0.6}{-0.8}=\frac{3}{4}=0.75$.

  3. Находим $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }=\frac{4}{3}\approx 1.333$.
     Ответ: $\sin \alpha =-0.6;\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =0.75;\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{4}{3}$.

5. Закрепление материала

Самостоятельная работа в парах:
Упростить выражения (с обсуждением, какие формулы применялись):

1. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha$

   • Решение: $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

2. $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$

   • Решение: $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =1$.

3. $(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )$

   • Решение: $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$.

6. Итоги урока и домашнее задание

Подведение итогов:
Сегодня мы установили "родственные связи" между тригонометрическими функциями. Всего несколько формул, объединённых основным тождеством, позволяют нам выражать одни функции через другие и упрощать, казалось бы, сложные выражения. Эти соотношения — ключ к решению тригонометрических уравнений и подготовке к ЕГЭ.

Домашнее задание:

1. Выучить все формулы, разобранные на уроке.

2. Найти $\sin \alpha$ и $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$, если $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ и $\alpha \in IV$ четверти.

3. Упростить выражение: $\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha }$.

4. Известно, что $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =3$. Найти $\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$. (Подсказка: разделить числитель и знаменатель на $\cos \alpha$).

5. (Творческое задание) Доказать, что ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha ={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha$.