Текст учебника. Урок 13. Формулы сложения и их следствия.

1. Организационный момент и целеполагание

Приветствие класса. Учитель задаёт вопрос: "Мы знаем значения тригонометрических функций для углов 30° и 45°. А как вычислить, например, $\sin {75}^{\circ }$ или $\cos {15}^{\circ }$, не пользуясь калькулятором?" Сегодня мы познакомимся с формулами сложения, которые позволят нам это делать. Кроме того, эти формулы — основа для вывода многих других важных соотношений. Формулируются цели урока.

2. Формулы синуса и косинуса суммы и разности

1.1. Основные формулы
Запишем ключевые формулы сложения. Их строгий вывод довольно громоздок, но геометрически их можно проиллюстрировать с помощью поворотов векторов на единичной окружности.

Косинус суммы и разности:

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$

Синус суммы и разности:

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$

Важно: Эти формулы верны для любых углов $\alpha$ и $\beta$.

1.2. Примеры применения

Пример 1: Вычислить $\cos {15}^{\circ }$, представив ${15}^{\circ }={45}^{\circ }-{30}^{\circ }$.

• Решение:

  $$\cos {15}^{\circ }=\cos ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\sin {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

Пример 2: Вычислить $\sin {75}^{\circ }$, представив ${75}^{\circ }={45}^{\circ }+{30}^{\circ }$.

• Решение:

  $$\sin {75}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })=\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

  (Интересно, что $\sin {75}^{\circ }=\cos {15}^{\circ }$).

Пример 3: Упростить $\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$.

• Решение:

  $$(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )=2\cos \alpha \sin \beta$$

3. Формулы двойного угла

Формулы двойного угла являются прямым следствием формул сложения, если положить $\beta =\alpha$.

2.1. Синус двойного угла

$$\sin 2\alpha =\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$$$\boxed{{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }}$$

2.2. Косинус двойного угла

$$\cos 2\alpha =\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$$$$\boxed{{\displaystyle \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }}$$

Важно: Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, можно получить ещё две полезные формы записи косинуса двойного угла:

$$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$$$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$$

Эти формы часто используются для понижения степени.

2.3. Тангенс двойного угла

$$\mathrm{t}\mathrm{g}2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }=\frac{2\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }{1-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha }$$

(При условии, что $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$ определён и $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \mathrm{\ne }\pm 1$).

Пример 4: Известно, что $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ и $\alpha$ — угол II четверти. Найти $\sin 2\alpha$.

• Решение:

  1. Находим $\cos \alpha$ во II четверти: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$.

  2. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}$.

Пример 5: Упростить $\frac{\sin 2\alpha }{\sin \alpha }-\frac{\cos 2\alpha }{\cos \alpha }$.

• Решение:

  $$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{\sin \alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=2\cos \alpha -(\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha })$$$$=2\cos \alpha -\cos \alpha +\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\cos \alpha +\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha }$$

4. Формулы суммы и разности одноимённых функций (обзорно)

Эти формулы позволяют преобразовывать сумму или разность синусов (косинусов) в произведение. Они часто используются при решении уравнений и упрощении выражений.

4.1. Сумма и разность синусов

$$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$$$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$$

4.2. Сумма и разность косинусов

$$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$

Пример 6: Преобразовать в произведение $\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }$.

• Решение:

  $$\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }=2\sin \frac{{75}^{\circ }+{15}^{\circ }}{2}\cos \frac{{75}^{\circ }-{15}^{\circ }}{2}=2\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }$$$$=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Пример 7: Упростить выражение $\frac{\sin \alpha +\sin 3\alpha }{\cos \alpha +\cos 3\alpha }$.

• Решение:
  Применяем формулы суммы:

  $$\frac{2\sin \frac{\alpha +3\alpha }{2}\cos \frac{\alpha -3\alpha }{2}}{2\cos \frac{\alpha +3\alpha }{2}\cos \frac{\alpha -3\alpha }{2}}=\frac{\sin 2\alpha \cos (-\alpha )}{\cos 2\alpha \cos (-\alpha )}=\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\mathrm{t}\mathrm{g}2\alpha$$

  (Учли, что $\cos (-\alpha )=\cos \alpha \mathrm{\ne }0$).

5. Систематизация и применение

Все формулы, изученные сегодня, логически связаны:

1. Формулы сложения — базовые.

2. Формулы двойного угла — частный случай формул сложения ($\beta =\alpha$).

3. Формулы суммы/разности функций — удобны для преобразования сумм в произведения и наоборот.

Пример 8 (комплексный): Доказать тождество $\frac{1+\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$.

• Решение:

  $$\frac{1+(2{\cos }^2\alpha -1)}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{2{\cos }^2\alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$$

  Тождество доказано.

6. Закрепление материала

Самостоятельная работа в парах:
Вычислить или упростить:

1. $\cos {105}^{\circ }$ (представить как ${60}^{\circ }+{45}^{\circ }$) (Ответ: $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$)

2. $\sin 2\alpha$, если $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ и $\alpha$ в III четверти. (Сначала найти $\sin \alpha$, затем $\sin 2\alpha$) (Ответ: $\frac{120}{169}$)

3. Упростить $\cos 2\alpha -{\cos }^2\alpha$ (Ответ: $-{\sin }^2\alpha$)

7. Итоги урока и домашнее задание

Подведение итогов:
Сегодня мы получили ключевые формулы тригонометрии. Формулы сложения — это "кирпичики", из которых строятся формулы двойного угла и преобразования сумм в произведения. Умение свободно ими пользоваться — необходимый навык для решения уравнений и упрощения выражений на ЕГЭ.

Домашнее задание:

1. Выучить формулы сложения и двойного угла.

2. Вычислить:

   • $\sin {105}^{\circ }$

   • $\cos {75}^{\circ }$

3. Упростить: $\frac{\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$.

4. Зная, что $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, найти $\cos 2\alpha$.

5. (Творческое задание) Вывести формулы для $\sin 3\alpha$ и $\cos 3\alpha$, используя формулы сложения.